ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrnegcon1d GIF version

Theorem xrnegcon1d 11045
Description: Contraposition law for extended real unary minus. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xrnegcon1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrnegcon1d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrnegcon1d (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem xrnegcon1d
StepHypRef Expression
1 xrnegcon1d.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 xnegneg 9628 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
32eqeq2d 2151 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
41, 3syl 14 . . 3 (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
5 xrnegcon1d.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
61xnegcld 9650 . . . 4 (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7 xneg11 9629 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵𝐴 = -𝑒𝐵))
85, 6, 7syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵𝐴 = -𝑒𝐵))
94, 8bitr3d 189 . 2 (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝑒𝐵))
10 eqcom 2141 . 2 (𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴)
119, 10syl6bb 195 1 (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  *cxr 7811  -𝑒cxne 9568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-sub 7947  df-neg 7948  df-xneg 9571
This theorem is referenced by:  xrminmax  11046  xrmineqinf  11050
  Copyright terms: Public domain W3C validator