Theorem xrnegcon1d 11065

Description: Contraposition law for extended real unary minus. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnegcon1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnegcon1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrnegcon1d	⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem xrnegcon1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegcon1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		xnegneg 9646	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
3	2	eqeq2d 2152	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
5		xrnegcon1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1	xnegcld 9668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7		xneg11 9647	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
9	4, 8	bitr3d 189	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
10		eqcom 2142	. 2 ⊢ (𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴)
11	9, 10	syl6bb 195	1 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ℝ^*cxr 7823  -_𝑒cxne 9586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-sub 7959  df-neg 7960  df-xneg 9589

This theorem is referenced by:  xrminmax  11066  xrmineqinf  11070