Theorem xrnegcon1d 11303

Description: Contraposition law for extended real unary minus. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnegcon1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnegcon1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrnegcon1d	⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem xrnegcon1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegcon1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		xnegneg 9862	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
3	2	eqeq2d 2201	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
5		xrnegcon1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1	xnegcld 9884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7		xneg11 9863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
9	4, 8	bitr3d 190	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
10		eqcom 2191	. 2 ⊢ (𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴)
11	9, 10	bitrdi 196	1 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ℝ^*cxr 8020  -_𝑒cxne 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-sub 8159  df-neg 8160  df-xneg 9801

This theorem is referenced by:  xrminmax  11304  xrmineqinf  11308