Theorem xrnegcon1d 11770

Description: Contraposition law for extended real unary minus. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnegcon1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnegcon1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrnegcon1d	⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem xrnegcon1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegcon1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		xnegneg 10025	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
3	2	eqeq2d 2241	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
5		xrnegcon1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1	xnegcld 10047	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7		xneg11 10026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
9	4, 8	bitr3d 190	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
10		eqcom 2231	. 2 ⊢ (𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴)
11	9, 10	bitrdi 196	1 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ℝ^*cxr 8176  -_𝑒cxne 9961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-sub 8315  df-neg 8316  df-xneg 9964

This theorem is referenced by:  xrminmax  11771  xrmineqinf  11775