Theorem xrnegcon1d 11205

Description: Contraposition law for extended real unary minus. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrnegcon1d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrnegcon1d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xrnegcon1d	⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem xrnegcon1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegcon1d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		xnegneg 9769	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
3	2	eqeq2d 2177	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
4	1, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐴 = 𝐵))
5		xrnegcon1d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
6	1	xnegcld 9791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7		xneg11 9770	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
9	4, 8	bitr3d 189	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = -𝑒𝐵))
10		eqcom 2167	. 2 ⊢ (𝐴 = -𝑒𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴)
11	9, 10	bitrdi 195	1 ⊢ (𝜑 → (-𝑒𝐴 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ℝ^*cxr 7932  -_𝑒cxne 9705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-sub 8071  df-neg 8072  df-xneg 9708

This theorem is referenced by:  xrminmax  11206  xrmineqinf  11210