Theorem xrmineqinf 12013

Description: The minimum of two extended reals is equal to the second if the first is bigger. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 3-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmineqinf	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = B )

Proof of Theorem xrmineqinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrminmax 12009	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
2	1	3adant3 1048	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
3		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> B <_ A )
4		simp2 1029	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> B e. RR* )
5		simp1 1028	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> A e. RR* )
6		xleneg 10218	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -e A <_ -e B ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> ( B <_ A <-> -e A <_ -e B ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> -e A <_ -e B )
9	5	xnegcld 10236	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> -e A e. RR* )
10	4	xnegcld 10236	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> -e B e. RR* )
11		xrmaxleim 11988	. . . . . 6 |- ( ( -e A e. RR* /\ -e B e. RR* ) -> ( -e A <_ -e B -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = -e B ) )
12	9, 10, 11	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> ( -e A <_ -e B -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = -e B ) )
13	8, 12	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = -e B )
14	13	eqcomd 2244	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> -e B = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) )
15	13, 10	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) e. RR* )
16	4, 15	xrnegcon1d 12008	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> ( -e B = sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) <-> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = B ) )
17	14, 16	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> -e sup ( { -e A , -e B } , RR* , < ) = B )
18	2, 17	eqtrd 2271	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ A ) -> inf ( { A , B } , RR* , < ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3706   class class class wbr 4125   supcsup 7312  infcinf 7313   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   -ecxne 10150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743

This theorem is referenced by:  xrbdtri  12020