ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmineqinf Unicode version

Theorem xrmineqinf 11312
Description: The minimum of two extended reals is equal to the second if the first is bigger. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 3-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmineqinf  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  B )

Proof of Theorem xrmineqinf
StepHypRef Expression
1 xrminmax 11308 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
213adant3 1019 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  -e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
3 simp3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  B  <_  A )
4 simp2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  B  e.  RR* )
5 simp1 999 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
6 xleneg 9869 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -e A  <_  -e B ) )
74, 5, 6syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  ( B  <_  A  <->  -e A  <_  -e B ) )
83, 7mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  -e
A  <_  -e B )
95xnegcld 9887 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  -e
A  e.  RR* )
104xnegcld 9887 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  -e
B  e.  RR* )
11 xrmaxleim 11287 . . . . . 6  |-  ( ( 
-e A  e. 
RR*  /\  -e B  e.  RR* )  ->  (  -e A  <_  -e
B  ->  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  = 
-e B ) )
129, 10, 11syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  (  -e A  <_  -e
B  ->  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  = 
-e B ) )
138, 12mpd 13 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  =  -e B )
1413eqcomd 2195 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  -e
B  =  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  ) )
1513, 10eqeltrd 2266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
164, 15xrnegcon1d 11307 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  (  -e B  =  sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  <->  -e sup ( {  -e A ,  -e B } ,  RR* ,  <  )  =  B ) )
1714, 16mpbid 147 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  ->  -e sup ( {  -e
A ,  -e
B } ,  RR* ,  <  )  =  B )
182, 17eqtrd 2222 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  A )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   {cpr 3608   class class class wbr 4018   supcsup 7012  infcinf 7013   RR*cxr 8022    < clt 8023    <_ cle 8024    -ecxne 9801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11319
  Copyright terms: Public domain W3C validator