Theorem zaddcllempos 9290

Description: Lemma for zaddcl 9293. Special case in which N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5883	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( M + x ) = ( M + 1 ) )
2	1	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + 1 ) e. ZZ ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ ) ) )
4		oveq2 5883	. . . . 5 |- ( x = y -> ( M + x ) = ( M + y ) )
5	4	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + y ) e. ZZ ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) ) )
7		oveq2 5883	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + x ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
10		oveq2 5883	. . . . 5 |- ( x = N -> ( M + x ) = ( M + N ) )
11	10	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + N ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) ) )
13		peano2z 9289	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		peano2z 9289	. . . . . 6 |- ( ( M + y ) e. ZZ -> ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ )
15		zcn 9258	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> M e. CC )
17		nncn 8927	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> y e. CC )
19		1cnd 7973	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
20	16, 18, 19	addassd 7980	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) + 1 ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( M e. ZZ -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 8935	. 2 |- ( N e. NN -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
26	25	impcom 125	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   CCcc 7809   1c1 7812   + caddc 7814   NNcn 8919   ZZcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  zaddcl  9293