Theorem zaddcllempos 9228

Description: Lemma for zaddcl 9231. Special case in which N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( M + x ) = ( M + 1 ) )
2	1	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + 1 ) e. ZZ ) )
3	2	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ ) ) )
4		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = y -> ( M + x ) = ( M + y ) )
5	4	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + y ) e. ZZ ) )
6	5	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = y -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) ) )
7		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + x ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
10		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( x = N -> ( M + x ) = ( M + N ) )
11	10	eleq1d 2235	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + N ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = N -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) ) )
13		peano2z 9227	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		peano2z 9227	. . . . . 6 |- ( ( M + y ) e. ZZ -> ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ )
15		zcn 9196	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
16	15	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> M e. CC )
17		nncn 8865	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
18	17	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> y e. CC )
19		1cnd 7915	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
20	16, 18, 19	addassd 7921	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) + 1 ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2235	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
22	14, 21	syl5ib 153	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
23	22	ex 114	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( M e. ZZ -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 8873	. 2 |- ( N e. NN -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
26	25	impcom 124	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   CCcc 7751   1c1 7754   + caddc 7756   NNcn 8857   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  zaddcl  9231