Theorem zaddcllempos 9577

Description: Lemma for zaddcl 9580. Special case in which N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( M + x ) = ( M + 1 ) )
2	1	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + 1 ) e. ZZ ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ ) ) )
4		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( x = y -> ( M + x ) = ( M + y ) )
5	4	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + y ) e. ZZ ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) ) )
7		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + x ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
10		oveq2 6036	. . . . 5 |- ( x = N -> ( M + x ) = ( M + N ) )
11	10	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + N ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) ) )
13		peano2z 9576	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		peano2z 9576	. . . . . 6 |- ( ( M + y ) e. ZZ -> ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ )
15		zcn 9545	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> M e. CC )
17		nncn 9210	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> y e. CC )
19		1cnd 8255	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
20	16, 18, 19	addassd 8261	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) + 1 ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( M e. ZZ -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 9218	. 2 |- ( N e. NN -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
26	25	impcom 125	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   1c1 8093   + caddc 8095   NNcn 9202   ZZcz 9540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-n0 9462  df-z 9541

This theorem is referenced by:  zaddcl  9580  lswccatn0lsw  11254