Theorem zaddcllempos 9409

Description: Lemma for zaddcl 9412. Special case in which N is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( M + x ) = ( M + 1 ) )
2	1	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + 1 ) e. ZZ ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ ) ) )
4		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = y -> ( M + x ) = ( M + y ) )
5	4	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + y ) e. ZZ ) )
6	5	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = y -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) ) )
7		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( M + x ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
8	7	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
10		oveq2 5952	. . . . 5 |- ( x = N -> ( M + x ) = ( M + N ) )
11	10	eleq1d 2274	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( M + x ) e. ZZ <-> ( M + N ) e. ZZ ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( x = N -> ( ( M e. ZZ -> ( M + x ) e. ZZ ) <-> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) ) )
13		peano2z 9408	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
14		peano2z 9408	. . . . . 6 |- ( ( M + y ) e. ZZ -> ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ )
15		zcn 9377	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> M e. CC )
17		nncn 9044	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> y e. CC )
19		1cnd 8088	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> 1 e. CC )
20	16, 18, 19	addassd 8095	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) + 1 ) = ( M + ( y + 1 ) ) )
21	20	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( M + y ) + 1 ) e. ZZ <-> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ M e. ZZ ) -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) )
23	22	ex 115	. . . 4 |- ( y e. NN -> ( M e. ZZ -> ( ( M + y ) e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
24	23	a2d 26	. . 3 |- ( y e. NN -> ( ( M e. ZZ -> ( M + y ) e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M + ( y + 1 ) ) e. ZZ ) ) )
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 9052	. 2 |- ( N e. NN -> ( M e. ZZ -> ( M + N ) e. ZZ ) )
26	25	impcom 125	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   CCcc 7923   1c1 7926   + caddc 7928   NNcn 9036   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  zaddcl  9412  lswccatn0lsw  11067