Theorem zaddcllempos 9681

Description: Lemma for zaddcl 9684. Special case in which 𝑁 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 1))
2	1	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 1) ∈ ℤ))
3	2	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)))
4		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑦))
5	4	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ)))
7		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
10		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑁))
11	10	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)))
13		peano2z 9680	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14		peano2z 9680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
15		zcn 9649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
17		nncn 9312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
19		1cnd 8342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	addassd 8348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) + 1) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
21	20	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
23	22	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
24	23	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 9320	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
26	25	impcom 125	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   + caddc 8182  ℕcn 9304  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  zaddcl  9684  lswccatn0lsw  11379