Theorem zaddcllempos 9479

Description: Lemma for zaddcl 9482. Special case in which 𝑁 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6008	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 1))
2	1	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 1) ∈ ℤ))
3	2	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)))
4		oveq2 6008	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑦))
5	4	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ)))
7		oveq2 6008	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
10		oveq2 6008	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑁))
11	10	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)))
13		peano2z 9478	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14		peano2z 9478	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
15		zcn 9447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
17		nncn 9114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
19		1cnd 8158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	addassd 8165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) + 1) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
21	20	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
23	22	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
24	23	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 9122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
26	25	impcom 125	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  1c1 7996   + caddc 7998  ℕcn 9106  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  zaddcl  9482  lswccatn0lsw  11141