Theorem zaddcllempos 9354

Description: Lemma for zaddcl 9357. Special case in which 𝑁 is a positive integer. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcllempos	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcllempos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 1))
2	1	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 1) ∈ ℤ))
3	2	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)))
4		oveq2 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑦))
5	4	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ)))
7		oveq2 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
8	7	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
9	8	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
10		oveq2 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑥) = (𝑀 + 𝑁))
11	10	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑥) ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)))
13		peano2z 9353	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
14		peano2z 9353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ)
15		zcn 9322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
17		nncn 8990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
19		1cnd 8035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	addassd 8042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) + 1) = (𝑀 + (𝑦 + 1)))
21	20	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝑀 + 𝑦) + 1) ∈ ℤ ↔ (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
22	14, 21	imbitrid 154	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ))
23	22	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
24	23	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)))
25	3, 6, 9, 12, 13, 24	nnind 8998	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
26	25	impcom 125	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875  ℕcn 8982  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  zaddcl  9357