Theorem peano2zm 9430

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9397	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8108	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8418	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9423	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9428	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2283	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8403	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9425	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2177  (class class class)co 5957   CCcc 7943   1c1 7946   + caddc 7948   - cmin 8263   -ucneg 8264   ZZcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9431  zlem1lt  9449  zltlem1  9450  zextlt  9485  zeo  9498  eluzp1m1  9692  fz01en  10195  fzsuc2  10221  elfzm11  10233  uzdisj  10235  fzof  10286  fzoval  10290  elfzo  10291  fzodcel  10295  fzon  10309  fzoss2  10316  fzossrbm1  10317  fzosplitsnm1  10360  ubmelm1fzo  10377  elfzom1b  10380  fzosplitprm1  10385  fzoshftral  10389  fzofig  10599  uzsinds  10611  ser3mono  10654  iseqf1olemqcl  10666  iseqf1olemnab  10668  iseqf1olemab  10669  seq3f1olemqsumkj  10678  seq3f1olemqsum  10680  seqf1oglem1  10686  seqf1oglem2  10687  bcm1k  10927  bcn2  10931  bcp1m1  10932  bcpasc  10933  bccl  10934  zfz1isolemiso  11006  seq3coll  11009  wrdred1  11058  wrdred1hash  11059  lswwrd  11062  lsw0  11063  resqrexlemcalc3  11402  resqrexlemnm  11404  fsumm1  11802  binomlem  11869  binom1dif  11873  isumsplit  11877  arisum2  11885  pwm1geoserap1  11894  mertenslemi1  11921  fprodm1  11984  fprodeq0  12003  3dvds  12250  zeo3  12254  oddm1even  12261  oddp1even  12262  zob  12277  nno  12292  bitsfzolem  12340  isprm3  12515  prmdc  12527  isprm5  12539  phibnd  12614  hashdvds  12618  odzcllem  12640  odzdvds  12643  fldivp1  12746  pockthlem  12754  4sqlemffi  12794  4sqleminfi  12795  4sqlem11  12799  4sqlem12  12800  oddennn  12838  znunit  14496  wilthlem1  15527  mersenne  15544  perfectlem1  15546  lgslem1  15552  lgsval2lem  15562  lgseisenlem1  15622  lgseisenlem2  15623  lgseisenlem3  15624  lgsquadlem1  15629  lgsquadlem3  15631  lgsquad2lem1  15633  lgsquad3  15636  2sqlem8  15675