Theorem peano2zm 9412

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9379	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8090	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8400	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9405	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9410	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2282	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8385	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9407	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   CCcc 7925   1c1 7928   + caddc 7930   - cmin 8245   -ucneg 8246   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9413  zlem1lt  9431  zltlem1  9432  zextlt  9467  zeo  9480  eluzp1m1  9674  fz01en  10177  fzsuc2  10203  elfzm11  10215  uzdisj  10217  fzof  10268  fzoval  10272  elfzo  10273  fzodcel  10277  fzon  10291  fzoss2  10298  fzossrbm1  10299  fzosplitsnm1  10340  ubmelm1fzo  10357  elfzom1b  10360  fzosplitprm1  10365  fzoshftral  10369  fzofig  10579  uzsinds  10591  ser3mono  10634  iseqf1olemqcl  10646  iseqf1olemnab  10648  iseqf1olemab  10649  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsum  10660  seqf1oglem1  10666  seqf1oglem2  10667  bcm1k  10907  bcn2  10911  bcp1m1  10912  bcpasc  10913  bccl  10914  zfz1isolemiso  10986  seq3coll  10989  wrdred1  11038  wrdred1hash  11039  lswwrd  11042  lsw0  11043  resqrexlemcalc3  11360  resqrexlemnm  11362  fsumm1  11760  binomlem  11827  binom1dif  11831  isumsplit  11835  arisum2  11843  pwm1geoserap1  11852  mertenslemi1  11879  fprodm1  11942  fprodeq0  11961  3dvds  12208  zeo3  12212  oddm1even  12219  oddp1even  12220  zob  12235  nno  12250  bitsfzolem  12298  isprm3  12473  prmdc  12485  isprm5  12497  phibnd  12572  hashdvds  12576  odzcllem  12598  odzdvds  12601  fldivp1  12704  pockthlem  12712  4sqlemffi  12752  4sqleminfi  12753  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  oddennn  12796  znunit  14454  wilthlem1  15485  mersenne  15502  perfectlem1  15504  lgslem1  15510  lgsval2lem  15520  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem3  15582  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem3  15589  lgsquad2lem1  15591  lgsquad3  15594  2sqlem8  15633