Theorem peano2zm 9237

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9204	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 7923	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8232	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9230	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9235	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2247	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8217	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9232	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 166	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141  (class class class)co 5850   CCcc 7759   1c1 7762   + caddc 7764   - cmin 8077   -ucneg 8078   ZZcz 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9238  zlem1lt  9255  zltlem1  9256  zextlt  9291  zeo  9304  eluzp1m1  9497  fz01en  9996  fzsuc2  10022  elfzm11  10034  uzdisj  10036  fzof  10087  fzoval  10091  elfzo  10092  fzodcel  10095  fzon  10109  fzoss2  10115  fzossrbm1  10116  fzosplitsnm1  10152  ubmelm1fzo  10169  elfzom1b  10172  fzosplitprm1  10177  fzoshftral  10181  fzofig  10375  uzsinds  10385  ser3mono  10421  iseqf1olemqcl  10429  iseqf1olemnab  10431  iseqf1olemab  10432  seq3f1olemqsumkj  10441  seq3f1olemqsum  10443  bcm1k  10681  bcn2  10685  bcp1m1  10686  bcpasc  10687  bccl  10688  zfz1isolemiso  10761  seq3coll  10764  resqrexlemcalc3  10967  resqrexlemnm  10969  fsumm1  11366  binomlem  11433  binom1dif  11437  isumsplit  11441  arisum2  11449  pwm1geoserap1  11458  mertenslemi1  11485  fprodm1  11548  fprodeq0  11567  zeo3  11814  oddm1even  11821  oddp1even  11822  zob  11837  nno  11852  isprm3  12059  prmdc  12071  isprm5  12083  phibnd  12158  hashdvds  12162  odzcllem  12183  odzdvds  12186  fldivp1  12287  pockthlem  12295  oddennn  12334  lgslem1  13654  lgsval2lem  13664  2sqlem8  13712