ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2zm Unicode version

Theorem peano2zm 9046
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 zcn 9013 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 1cnd 7746 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
31, 2negsubdid 8052 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u ( N  -  1 )  =  ( -u N  +  1 ) )
4 znegcl 9039 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
5 peano2z 9044 . . . 4  |-  ( -u N  e.  ZZ  ->  (
-u N  +  1 )  e.  ZZ )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )
73, 6eqeltrd 2192 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ )
81, 2subcld 8037 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 znegclb 9041 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  e.  ZZ  <->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
108, 9syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  e.  ZZ  <->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
117, 10mpbird 166 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1463  (class class class)co 5740   CCcc 7582   1c1 7585    + caddc 7587    - cmin 7897   -ucneg 7898   ZZcz 9008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009
This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9047  zlem1lt  9064  zltlem1  9065  zextlt  9097  zeo  9110  eluzp1m1  9301  fz01en  9784  fzsuc2  9810  elfzm11  9822  uzdisj  9824  fzof  9872  fzoval  9876  elfzo  9877  fzodcel  9880  fzon  9894  fzoss2  9900  fzossrbm1  9901  fzosplitsnm1  9937  ubmelm1fzo  9954  elfzom1b  9957  fzosplitprm1  9962  fzoshftral  9966  fzofig  10156  uzsinds  10166  ser3mono  10202  iseqf1olemqcl  10210  iseqf1olemnab  10212  iseqf1olemab  10213  seq3f1olemqsumkj  10222  seq3f1olemqsum  10224  bcm1k  10457  bcn2  10461  bcp1m1  10462  bcpasc  10463  bccl  10464  zfz1isolemiso  10533  seq3coll  10536  resqrexlemcalc3  10739  resqrexlemnm  10741  fsumm1  11136  binomlem  11203  binom1dif  11207  isumsplit  11211  arisum2  11219  pwm1geoserap1  11228  mertenslemi1  11255  zeo3  11472  oddm1even  11479  oddp1even  11480  zob  11495  nno  11510  isprm3  11706  phibnd  11799  hashdvds  11803  oddennn  11811
  Copyright terms: Public domain W3C validator