Theorem peano2zm 9358

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9325	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8037	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8347	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9351	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9356	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2270	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8332	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9353	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   CCcc 7872   1c1 7875   + caddc 7877   - cmin 8192   -ucneg 8193   ZZcz 9320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9359  zlem1lt  9376  zltlem1  9377  zextlt  9412  zeo  9425  eluzp1m1  9619  fz01en  10122  fzsuc2  10148  elfzm11  10160  uzdisj  10162  fzof  10213  fzoval  10217  elfzo  10218  fzodcel  10222  fzon  10236  fzoss2  10242  fzossrbm1  10243  fzosplitsnm1  10279  ubmelm1fzo  10296  elfzom1b  10299  fzosplitprm1  10304  fzoshftral  10308  fzofig  10506  uzsinds  10518  ser3mono  10561  iseqf1olemqcl  10573  iseqf1olemnab  10575  iseqf1olemab  10576  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsum  10587  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  bcm1k  10834  bcn2  10838  bcp1m1  10839  bcpasc  10840  bccl  10841  zfz1isolemiso  10913  seq3coll  10916  wrdred1  10959  wrdred1hash  10960  resqrexlemcalc3  11163  resqrexlemnm  11165  fsumm1  11562  binomlem  11629  binom1dif  11633  isumsplit  11637  arisum2  11645  pwm1geoserap1  11654  mertenslemi1  11681  fprodm1  11744  fprodeq0  11763  zeo3  12012  oddm1even  12019  oddp1even  12020  zob  12035  nno  12050  isprm3  12259  prmdc  12271  isprm5  12283  phibnd  12358  hashdvds  12362  odzcllem  12383  odzdvds  12386  fldivp1  12489  pockthlem  12497  4sqlemffi  12537  4sqleminfi  12538  4sqlem11  12542  4sqlem12  12543  oddennn  12552  znunit  14158  wilthlem1  15153  lgslem1  15157  lgsval2lem  15167  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem2  15228  lgseisenlem3  15229  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem3  15236  lgsquad2lem1  15238  lgsquad3  15241  2sqlem8  15280