Theorem peano2zm 9229

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9196	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 7915	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8224	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9222	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9227	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2243	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8209	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9224	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 166	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   CCcc 7751   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   -ucneg 8070   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9230  zlem1lt  9247  zltlem1  9248  zextlt  9283  zeo  9296  eluzp1m1  9489  fz01en  9988  fzsuc2  10014  elfzm11  10026  uzdisj  10028  fzof  10079  fzoval  10083  elfzo  10084  fzodcel  10087  fzon  10101  fzoss2  10107  fzossrbm1  10108  fzosplitsnm1  10144  ubmelm1fzo  10161  elfzom1b  10164  fzosplitprm1  10169  fzoshftral  10173  fzofig  10367  uzsinds  10377  ser3mono  10413  iseqf1olemqcl  10421  iseqf1olemnab  10423  iseqf1olemab  10424  seq3f1olemqsumkj  10433  seq3f1olemqsum  10435  bcm1k  10673  bcn2  10677  bcp1m1  10678  bcpasc  10679  bccl  10680  zfz1isolemiso  10752  seq3coll  10755  resqrexlemcalc3  10958  resqrexlemnm  10960  fsumm1  11357  binomlem  11424  binom1dif  11428  isumsplit  11432  arisum2  11440  pwm1geoserap1  11449  mertenslemi1  11476  fprodm1  11539  fprodeq0  11558  zeo3  11805  oddm1even  11812  oddp1even  11813  zob  11828  nno  11843  isprm3  12050  prmdc  12062  isprm5  12074  phibnd  12149  hashdvds  12153  odzcllem  12174  odzdvds  12177  fldivp1  12278  pockthlem  12286  oddennn  12325  lgslem1  13541  lgsval2lem  13551  2sqlem8  13599