Theorem peano2zm 9116

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9083	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 7806	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8112	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9109	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9114	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2217	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8097	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9111	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 166	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   -ucneg 7958   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9117  zlem1lt  9134  zltlem1  9135  zextlt  9167  zeo  9180  eluzp1m1  9373  fz01en  9864  fzsuc2  9890  elfzm11  9902  uzdisj  9904  fzof  9952  fzoval  9956  elfzo  9957  fzodcel  9960  fzon  9974  fzoss2  9980  fzossrbm1  9981  fzosplitsnm1  10017  ubmelm1fzo  10034  elfzom1b  10037  fzosplitprm1  10042  fzoshftral  10046  fzofig  10236  uzsinds  10246  ser3mono  10282  iseqf1olemqcl  10290  iseqf1olemnab  10292  iseqf1olemab  10293  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3f1olemqsum  10304  bcm1k  10538  bcn2  10542  bcp1m1  10543  bcpasc  10544  bccl  10545  zfz1isolemiso  10614  seq3coll  10617  resqrexlemcalc3  10820  resqrexlemnm  10822  fsumm1  11217  binomlem  11284  binom1dif  11288  isumsplit  11292  arisum2  11300  pwm1geoserap1  11309  mertenslemi1  11336  zeo3  11601  oddm1even  11608  oddp1even  11609  zob  11624  nno  11639  isprm3  11835  phibnd  11929  hashdvds  11933  oddennn  11941