Theorem peano2zm 9355

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9322	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8035	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8345	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9348	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9353	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2270	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8330	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9350	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   - cmin 8190   -ucneg 8191   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9356  zlem1lt  9373  zltlem1  9374  zextlt  9409  zeo  9422  eluzp1m1  9616  fz01en  10119  fzsuc2  10145  elfzm11  10157  uzdisj  10159  fzof  10210  fzoval  10214  elfzo  10215  fzodcel  10219  fzon  10233  fzoss2  10239  fzossrbm1  10240  fzosplitsnm1  10276  ubmelm1fzo  10293  elfzom1b  10296  fzosplitprm1  10301  fzoshftral  10305  fzofig  10503  uzsinds  10515  ser3mono  10558  iseqf1olemqcl  10570  iseqf1olemnab  10572  iseqf1olemab  10573  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsum  10584  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  bcm1k  10831  bcn2  10835  bcp1m1  10836  bcpasc  10837  bccl  10838  zfz1isolemiso  10910  seq3coll  10913  wrdred1  10956  wrdred1hash  10957  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemnm  11162  fsumm1  11559  binomlem  11626  binom1dif  11630  isumsplit  11634  arisum2  11642  pwm1geoserap1  11651  mertenslemi1  11678  fprodm1  11741  fprodeq0  11760  zeo3  12009  oddm1even  12016  oddp1even  12017  zob  12032  nno  12047  isprm3  12256  prmdc  12268  isprm5  12280  phibnd  12355  hashdvds  12359  odzcllem  12380  odzdvds  12383  fldivp1  12486  pockthlem  12494  4sqlemffi  12534  4sqleminfi  12535  4sqlem11  12539  4sqlem12  12540  oddennn  12549  znunit  14147  wilthlem1  15112  lgslem1  15116  lgsval2lem  15126  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem3  15188  lgsquadlem1  15191  2sqlem8  15210