Theorem peano2zm 9520

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9487	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8198	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8508	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9513	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9518	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2308	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8493	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9515	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202  (class class class)co 6021   CCcc 8033   1c1 8036   + caddc 8038   - cmin 8353   -ucneg 8354   ZZcz 9482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9521  zlem1lt  9539  zltlem1  9540  zextlt  9575  zeo  9588  eluzp1m1  9783  fz01en  10291  fzsuc2  10317  elfzm11  10329  uzdisj  10331  fzof  10382  fzoval  10386  elfzo  10387  fzodcel  10391  fzon  10405  fzoss2  10412  fzossrbm1  10413  fzosplitsnm1  10458  ubmelm1fzo  10475  elfzom1b  10478  fzosplitprm1  10484  fzoshftral  10488  fzofig  10698  uzsinds  10710  ser3mono  10753  iseqf1olemqcl  10765  iseqf1olemnab  10767  iseqf1olemab  10768  seq3f1olemqsumkj  10777  seq3f1olemqsum  10779  seqf1oglem1  10785  seqf1oglem2  10786  bcm1k  11026  bcn2  11030  bcp1m1  11031  bcpasc  11032  bccl  11033  zfz1isolemiso  11107  seq3coll  11110  wrdred1  11163  wrdred1hash  11164  lswwrd  11167  lsw0  11168  resqrexlemcalc3  11597  resqrexlemnm  11599  fsumm1  11998  binomlem  12065  binom1dif  12069  isumsplit  12073  arisum2  12081  pwm1geoserap1  12090  mertenslemi1  12117  fprodm1  12180  fprodeq0  12199  3dvds  12446  zeo3  12450  oddm1even  12457  oddp1even  12458  zob  12473  nno  12488  bitsfzolem  12536  isprm3  12711  prmdc  12723  isprm5  12735  phibnd  12810  hashdvds  12814  odzcllem  12836  odzdvds  12839  fldivp1  12942  pockthlem  12950  4sqlemffi  12990  4sqleminfi  12991  4sqlem11  12995  4sqlem12  12996  oddennn  13034  gsumsplit0  13954  znunit  14695  wilthlem1  15731  mersenne  15748  perfectlem1  15750  lgslem1  15756  lgsval2lem  15766  lgseisenlem1  15826  lgseisenlem2  15827  lgseisenlem3  15828  lgsquadlem1  15833  lgsquadlem3  15835  lgsquad2lem1  15837  lgsquad3  15840  2sqlem8  15879  wlk1walkdom  16237  clwwlkccatlem  16278