Theorem peano2zm 9293

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9260	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 7975	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8285	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9286	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9291	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2254	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8270	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9288	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   CCcc 7811   1c1 7814   + caddc 7816   - cmin 8130   -ucneg 8131   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9294  zlem1lt  9311  zltlem1  9312  zextlt  9347  zeo  9360  eluzp1m1  9553  fz01en  10055  fzsuc2  10081  elfzm11  10093  uzdisj  10095  fzof  10146  fzoval  10150  elfzo  10151  fzodcel  10154  fzon  10168  fzoss2  10174  fzossrbm1  10175  fzosplitsnm1  10211  ubmelm1fzo  10228  elfzom1b  10231  fzosplitprm1  10236  fzoshftral  10240  fzofig  10434  uzsinds  10444  ser3mono  10480  iseqf1olemqcl  10488  iseqf1olemnab  10490  iseqf1olemab  10491  seq3f1olemqsumkj  10500  seq3f1olemqsum  10502  bcm1k  10742  bcn2  10746  bcp1m1  10747  bcpasc  10748  bccl  10749  zfz1isolemiso  10821  seq3coll  10824  resqrexlemcalc3  11027  resqrexlemnm  11029  fsumm1  11426  binomlem  11493  binom1dif  11497  isumsplit  11501  arisum2  11509  pwm1geoserap1  11518  mertenslemi1  11545  fprodm1  11608  fprodeq0  11627  zeo3  11875  oddm1even  11882  oddp1even  11883  zob  11898  nno  11913  isprm3  12120  prmdc  12132  isprm5  12144  phibnd  12219  hashdvds  12223  odzcllem  12244  odzdvds  12247  fldivp1  12348  pockthlem  12356  oddennn  12395  lgslem1  14486  lgsval2lem  14496  lgseisenlem1  14535  lgseisenlem2  14536  2sqlem8  14555