Theorem peano2zm 9682

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9649	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8342	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8652	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9675	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9680	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2315	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8637	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9677	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   - cmin 8497   -ucneg 8498   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  zaddcllemneg  9683  zlem1lt  9701  zltlem1  9702  zextlt  9738  zeo  9751  eluzp1m1  9946  fzsplit3  10458  fz01en  10459  fzsuc2  10486  elfzm11  10498  uzdisj  10500  fzof  10551  fzoval  10555  elfzo  10556  fzodcel  10560  fzon  10574  fzoss2  10581  fzossrbm1  10582  fzosplitsnm1  10627  ubmelm1fzo  10644  elfzom1b  10647  fzosplitprm1  10653  fzoshftral  10657  fzofig  10869  uzsinds  10881  ser3mono  10924  iseqf1olemqcl  10936  iseqf1olemnab  10938  iseqf1olemab  10939  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsum  10950  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  bcm1k  11198  bcn2  11202  bcp1m1  11203  bcpasc  11204  bccl  11205  hashfibclem  11282  zfz1isolemiso  11291  seq3coll  11294  wrdred1  11347  wrdred1hash  11348  lswwrd  11351  lsw0  11352  resqrexlemcalc3  11782  resqrexlemnm  11784  fsumm1  12183  binomlem  12250  binom1dif  12254  isumsplit  12258  arisum2  12266  pwm1geoserap1  12275  mertenslemi1  12302  fprodm1  12365  fprodeq0  12384  3dvds  12631  zeo3  12635  oddm1even  12642  oddp1even  12643  zob  12658  nno  12673  bitsfzolem  12721  isprm3  12896  prmdc  12908  isprm5  12920  phibnd  12995  hashdvds  12999  odzcllem  13021  odzdvds  13024  fldivp1  13127  pockthlem  13135  4sqlemffi  13175  4sqleminfi  13176  4sqlem11  13180  4sqlem12  13181  ballotfilemfp1  13231  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemgun  13268  oddennn  13283  gzsumsplit0  14148  znunit  14994  log2tlbndlog2  16082  log2ublem2  16084  birthdaylem3  16089  wilthlem1  16094  mersenne  16111  perfectlem1  16113  lgslem1  16119  lgsval2lem  16129  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem3  16198  lgsquad2lem1  16200  lgsquad3  16203  2sqlem8  16242  wlk1walkdom  16600  clwwlkccatlem  16641