Theorem peano2zm 9691

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9658	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8348	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8659	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9684	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9689	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2315	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8644	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9686	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   1c1 8186   + caddc 8188   - cmin 8504   -ucneg 8505   ZZcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  zaddcllemneg  9692  zlem1lt  9710  zltlem1  9711  zextlt  9748  zeo  9761  eluzp1m1  9961  fzsplit3  10474  fz01en  10475  fzsuc2  10502  elfzm11  10514  uzdisj  10516  fzof  10567  fzoval  10571  elfzo  10572  fzodcel  10576  fzon  10590  fzoss2  10597  fzossrbm1  10598  fzosplitsnm1  10643  ubmelm1fzo  10660  elfzom1b  10663  fzosplitprm1  10669  fzoshftral  10673  fzofig  10889  uzsinds  10901  ser3mono  10944  iseqf1olemqcl  10956  iseqf1olemnab  10958  iseqf1olemab  10959  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsum  10970  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  bcm1k  11219  bcn2  11223  bcp1m1  11224  bcpasc  11225  bccl  11226  hashfibclem  11303  zfz1isolemiso  11312  seq3coll  11315  wrdred1  11368  wrdred1hash  11369  lswwrd  11372  lsw0  11373  resqrexlemcalc3  11803  resqrexlemnm  11805  fsumm1  12207  binomlem  12274  binom1dif  12278  isumsplit  12282  arisum2  12290  pwm1geoserap1  12299  mertenslemi1  12326  fprodm1  12389  fprodeq0  12408  3dvds  12655  zeo3  12659  oddm1even  12666  oddp1even  12667  zob  12682  nno  12697  bitsfzolem  12745  isprm3  12920  prmdc  12932  isprm5  12945  phibnd  13023  hashdvds  13027  odzcllem  13049  odzdvds  13052  fldivp1  13155  pockthlem  13163  4sqlemffi  13203  4sqleminfi  13204  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  ballotfilemfp1  13288  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemgun  13325  oddennn  13340  gzsumsplit0  14237  znunit  15102  log2tlbndlog2  16237  log2ublem2  16239  birthdaylem3  16244  wilthlem1  16249  ppiqub  16310  mersenne  16314  perfectlem1  16316  lgslem1  16341  lgsval2lem  16351  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem3  16420  lgsquad2lem1  16422  lgsquad3  16425  2sqlem8  16464  wlk1walkdom  16822  clwwlkccatlem  16863