Theorem peano2zm 9517

Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2zm	|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9484	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		1cnd 8195	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
3	1, 2	negsubdid 8505	. . 3 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) = ( -u N + 1 ) )
4		znegcl 9510	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
5		peano2z 9515	. . . 4 |- ( -u N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -u N + 1 ) e. ZZ )
7	3, 6	eqeltrd 2308	. 2 |- ( N e. ZZ -> -u ( N - 1 ) e. ZZ )
8	1, 2	subcld 8490	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. CC )
9		znegclb 9512	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. CC -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) e. ZZ <-> -u ( N - 1 ) e. ZZ ) )
11	7, 10	mpbird 167	1 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202  (class class class)co 6018   CCcc 8030   1c1 8033   + caddc 8035   - cmin 8350   -ucneg 8351   ZZcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  9518  zlem1lt  9536  zltlem1  9537  zextlt  9572  zeo  9585  eluzp1m1  9780  fz01en  10288  fzsuc2  10314  elfzm11  10326  uzdisj  10328  fzof  10379  fzoval  10383  elfzo  10384  fzodcel  10388  fzon  10402  fzoss2  10409  fzossrbm1  10410  fzosplitsnm1  10454  ubmelm1fzo  10471  elfzom1b  10474  fzosplitprm1  10480  fzoshftral  10484  fzofig  10694  uzsinds  10706  ser3mono  10749  iseqf1olemqcl  10761  iseqf1olemnab  10763  iseqf1olemab  10764  seq3f1olemqsumkj  10773  seq3f1olemqsum  10775  seqf1oglem1  10781  seqf1oglem2  10782  bcm1k  11022  bcn2  11026  bcp1m1  11027  bcpasc  11028  bccl  11029  zfz1isolemiso  11103  seq3coll  11106  wrdred1  11156  wrdred1hash  11157  lswwrd  11160  lsw0  11161  resqrexlemcalc3  11577  resqrexlemnm  11579  fsumm1  11978  binomlem  12045  binom1dif  12049  isumsplit  12053  arisum2  12061  pwm1geoserap1  12070  mertenslemi1  12097  fprodm1  12160  fprodeq0  12179  3dvds  12426  zeo3  12430  oddm1even  12437  oddp1even  12438  zob  12453  nno  12468  bitsfzolem  12516  isprm3  12691  prmdc  12703  isprm5  12715  phibnd  12790  hashdvds  12794  odzcllem  12816  odzdvds  12819  fldivp1  12922  pockthlem  12930  4sqlemffi  12970  4sqleminfi  12971  4sqlem11  12975  4sqlem12  12976  oddennn  13014  gsumsplit0  13934  znunit  14675  wilthlem1  15706  mersenne  15723  perfectlem1  15725  lgslem1  15731  lgsval2lem  15741  lgseisenlem1  15801  lgseisenlem2  15802  lgseisenlem3  15803  lgsquadlem1  15808  lgsquadlem3  15810  lgsquad2lem1  15812  lgsquad3  15815  2sqlem8  15854  wlk1walkdom  16212  clwwlkccatlem  16253