ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2zm Unicode version

Theorem peano2zm 8786
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 zcn 8753 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 1cnd 7502 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
31, 2negsubdid 7806 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u ( N  -  1 )  =  ( -u N  +  1 ) )
4 znegcl 8779 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
5 peano2z 8784 . . . 4  |-  ( -u N  e.  ZZ  ->  (
-u N  +  1 )  e.  ZZ )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )
73, 6eqeltrd 2164 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ )
81, 2subcld 7791 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
9 znegclb 8781 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  e.  ZZ  <->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
108, 9syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  e.  ZZ  <->  -u ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
117, 10mpbird 165 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    e. wcel 1438  (class class class)co 5652   CCcc 7346   1c1 7349    + caddc 7351    - cmin 7651   -ucneg 7652   ZZcz 8748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749
This theorem is referenced by:  zaddcllemneg  8787  zlem1lt  8804  zltlem1  8805  zextlt  8836  zeo  8849  eluzp1m1  9040  fz01en  9465  fzsuc2  9489  elfzm11  9501  uzdisj  9503  fzof  9551  fzoval  9555  elfzo  9556  fzodcel  9559  fzon  9573  fzoss2  9579  fzossrbm1  9580  fzosplitsnm1  9616  ubmelm1fzo  9633  elfzom1b  9636  fzosplitprm1  9641  fzoshftral  9645  fzofig  9835  uzsinds  9844  isermono  9902  iseqf1olemqcl  9911  iseqf1olemnab  9913  iseqf1olemab  9914  seq3f1olemqsumkj  9923  seq3f1olemqsum  9925  bcm1k  10164  bcn2  10168  bcp1m1  10169  bcpasc  10170  bccl  10171  zfz1isolemiso  10240  iseqcoll  10243  resqrexlemcalc3  10445  resqrexlemnm  10447  fsumm1  10806  binomlem  10873  binom1dif  10877  isumsplit  10881  arisum2  10889  pwm1geoserap1  10898  mertenslemi1  10925  zeo3  11142  oddm1even  11149  oddp1even  11150  zob  11165  nno  11180  isprm3  11374  phibnd  11467  hashdvds  11471  oddennn  11479
  Copyright terms: Public domain W3C validator