Theorem zaddcl 8998

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 8960	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2	1	simprbi 271	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
3	2	adantl 273	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
4		zcn 8963	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
5	4	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. CC )
6	5	addid1d 7834	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 0 ) = M )
7		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	eqeltrd 2191	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 0 ) e. ZZ )
9		oveq2 5736	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
10	9	eleq1d 2183	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( M + N ) e. ZZ <-> ( M + 0 ) e. ZZ ) )
11	8, 10	syl5ibrcom 156	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 -> ( M + N ) e. ZZ ) )
12		zaddcllempos 8995	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )
13	12	ex 114	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
14	13	adantr 272	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
15		zre 8962	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16		zaddcllemneg 8997	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )
17	16	3expia 1166	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( -u N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
18	15, 17	sylan2 282	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -u N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
19	11, 14, 18	3jaod 1265	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ ) )
20	3, 19	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ w3o 944   = wceq 1314   e. wcel 1463  (class class class)co 5728   CCcc 7545   RRcr 7546   0cc0 7547   + caddc 7550   -ucneg 7857   NNcn 8630   ZZcz 8958

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959

This theorem is referenced by:  zsubcl  8999  zrevaddcl  9008  zdivadd  9044  zaddcld  9081  eluzaddi  9254  eluzsubi  9255  eluzadd  9256  nn0pzuz  9284  fzen  9716  fzaddel  9732  fzrev3  9760  fzrevral3  9780  elfzmlbp  9802  fzoaddel  9862  zpnn0elfzo  9877  elfzomelpfzo  9901  fzoshftral  9908  climshftlemg  10963  fsumzcl  11063  summodnegmod  11372  dvds2ln  11374  dvds2add  11375  dvdsadd  11384  dvdsadd2b  11388  addmodlteqALT  11405  3dvdsdec  11410  3dvds2dec  11411  opoe  11440  opeo  11442  ndvdsadd  11476