Theorem zaddcl 9684

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )

Proof of Theorem zaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 9646	. . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2	1	simprbi 275	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
4		zcn 9649	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
5	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. CC )
6	5	addridd 8475	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 0 ) = M )
7		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
8	6, 7	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + 0 ) e. ZZ )
9		oveq2 6093	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
10	9	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( M + N ) e. ZZ <-> ( M + 0 ) e. ZZ ) )
11	8, 10	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 -> ( M + N ) e. ZZ ) )
12		zaddcllempos 9681	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )
13	12	ex 115	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
15		zre 9648	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
16		zaddcllemneg 9683	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ )
17	16	3expia 1236	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. RR ) -> ( -u N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
18	15, 17	sylan2 286	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -u N e. NN -> ( M + N ) e. ZZ ) )
19	11, 14, 18	3jaod 1345	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> ( M + N ) e. ZZ ) )
20	3, 19	mpd 13	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   -ucneg 8498   NNcn 9304   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  zsubcl  9685  zrevaddcl  9695  zdivadd  9735  zaddcld  9772  eluzaddi  9949  eluzsubi  9950  eluzadd  9951  nn0pzuz  9987  fzen  10447  fzaddel  10465  fzrev3  10494  fzrevral3  10514  elfzmlbp  10539  fzoun  10590  fzoaddel  10605  zpnn0elfzo  10625  elfzomelpfzo  10649  fzoshftral  10657  ccatsymb  11370  ccatval21sw  11373  swrdccatin2  11501  climshftlemg  12068  fsumzcl  12169  summodnegmod  12589  dvds2ln  12591  dvds2add  12592  dvdsadd  12603  dvdsadd2b  12607  addmodlteqALT  12626  3dvdsdec  12632  3dvds2dec  12633  opoe  12662  opeo  12664  ndvdsadd  12698  pythagtriplem9  13052  difsqpwdvds  13117  gzaddcl  13156  ballotfilem1  13220  ballotfilemodife  13240  ballotfilemsima  13259  zsubrg  14918  zringmulg  14933  expghmap  14942  mulgghm2  14943  clwwlkccatlem  16641