Theorem zgt0ge1 9433

Description: An integer greater than 0 is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zgt0ge1	|- ( Z e. ZZ -> ( 0 < Z <-> 1 <_ Z ) )

Proof of Theorem zgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9385	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		zltp1le 9429	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ Z e. ZZ ) -> ( 0 < Z <-> ( 0 + 1 ) <_ Z ) )
3	1, 2	mpan 424	. 2 |- ( Z e. ZZ -> ( 0 < Z <-> ( 0 + 1 ) <_ Z ) )
4		0p1e1 9152	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( 0 + 1 ) = 1 )
6	5	breq1d 4055	. 2 |- ( Z e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) <_ Z <-> 1 <_ Z ) )
7	3, 6	bitrd 188	1 |- ( Z e. ZZ -> ( 0 < Z <-> 1 <_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   < clt 8109   <_ cle 8110   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  recnz  9468  wrdlenge1n0  11029  dvdslelemd  12187