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Theorem dvdslelemd 11271
Description: Lemma for dvdsle 11272. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelemd.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvdslelemd.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dvdslelemd.3  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
dvdslelemd.lt  |-  ( ph  ->  N  <  M )
Assertion
Ref Expression
dvdslelemd  |-  ( ph  ->  ( K  x.  M
)  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelemd
StepHypRef Expression
1 dvdslelemd.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
2 0z 8859 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 zlelttric 8893 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
41, 2, 3sylancl 405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
5 zgt0ge1 8906 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
61, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <  K  <->  1  <_  K ) )
76orbi2d 742 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  <_ 
0  \/  0  < 
K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) ) )
84, 7mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
91zred 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
109adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  K  e.  RR )
11 dvdslelemd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1211zred 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1312adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  M  e.  RR )
1410, 13remulcld 7615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( K  x.  M )  e.  RR )
15 0red 7586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
16 dvdslelemd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1716nnred 8533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1817adantr 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  N  e.  RR )
1910renegcld 7955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  -u K  e.  RR )
209le0neg1d 8092 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
2120biimpa 291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <_  -u K )
22 0red 7586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2316nngt0d 8564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  N )
24 dvdslelemd.lt . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  <  M )
2522, 17, 12, 23, 24lttrd 7706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
2622, 12, 25ltled 7699 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
2726adantr 271 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <_  M )
2819, 13, 21, 27mulge0d 8195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
2914le0neg1d 8092 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M )
) )
3010recnd 7613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  K  e.  CC )
3113recnd 7613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  M  e.  CC )
3230, 31mulneg1d 7986 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M
) )
3332breq2d 3879 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
3429, 33bitr4d 190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
3528, 34mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( K  x.  M )  <_  0
)
3623adantr 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <  N )
3714, 15, 18, 35, 36lelttrd 7705 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( K  x.  M )  <  N
)
3837ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M
)  <  N )
)
3917adantr 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  N  e.  RR )
4012adantr 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  M  e.  RR )
419adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  K  e.  RR )
4241, 40remulcld 7615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  ( K  x.  M )  e.  RR )
4324adantr 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  N  <  M )
4426adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  0  <_  M )
45 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  1  <_  K )
4640, 41, 44, 45lemulge12d 8496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4739, 40, 42, 43, 46ltletrd 7998 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4847ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4938, 48orim12d 738 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  <_ 
0  \/  1  <_  K )  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) ) )
508, 49mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
51 zq 9210 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
521, 51syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  QQ )
53 zq 9210 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  QQ )
5411, 53syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
55 qmulcl 9221 . . . 4  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  M  e.  QQ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  QQ )
5652, 54, 55syl2anc 404 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  x.  M
)  e.  QQ )
57 nnq 9217 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
5816, 57syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
59 qlttri2 9225 . . 3  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) ) )
6056, 58, 59syl2anc 404 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) ) )
6150, 60mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  ( K  x.  M
)  =/=  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 667    e. wcel 1445    =/= wne 2262   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448    x. cmul 7452    < clt 7619    <_ cle 7620   -ucneg 7751   NNcn 8520   ZZcz 8848   QQcq 9203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204
This theorem is referenced by:  dvdsle  11272
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