Theorem dvdslelemd 11803

Description: Lemma for dvdsle 11804. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdslelemd.2	|- ( ph -> N e. NN )
dvdslelemd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdslelemd.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	|- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		0z 9223	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		zlelttric 9257	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
4	1, 2, 3	sylancl 411	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
5		zgt0ge1 9270	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
7	6	orbi2d 785	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 0 < K ) <-> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) ) )
8	4, 7	mpbid 146	. . 3 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) )
9	1	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. RR )
10	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. RR )
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	11	zred 9334	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
13	12	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. RR )
14	10, 13	remulcld 7950	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) e. RR )
15		0red 7921	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 e. RR )
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
17	16	nnred 8891	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
18	17	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> N e. RR )
19	10	renegcld 8299	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> -u K e. RR )
20	9	le0neg1d 8436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K <_ 0 <-> 0 <_ -u K ) )
21	20	biimpa 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ -u K )
22		0red 7921	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
23	16	nngt0d 8922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N < M )
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8045	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
26	22, 12, 25	ltled 8038	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ M )
27	26	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ M )
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
29	14	le0neg1d 8436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
30	10	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. CC )
31	13	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. CC )
32	30, 31	mulneg1d 8330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( -u K x. M ) = -u ( K x. M ) )
33	32	breq2d 4001	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( 0 <_ ( -u K x. M ) <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
34	29, 33	bitr4d 190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ ( -u K x. M ) ) )
35	28, 34	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) <_ 0 )
36	23	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 < N )
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8044	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) < N )
38	37	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 -> ( K x. M ) < N ) )
39	17	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N e. RR )
40	12	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M e. RR )
41	9	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K e. RR )
42	41, 40	remulcld 7950	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> ( K x. M ) e. RR )
43	24	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < M )
44	26	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 0 <_ M )
45		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ K )
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 8854	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M <_ ( K x. M ) )
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8342	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < ( K x. M ) )
48	47	ex 114	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 <_ K -> N < ( K x. M ) ) )
49	38, 48	orim12d 781	. . 3 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
50	8, 49	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) )
51		zq 9585	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. QQ )
53		zq 9585	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
54	11, 53	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. QQ )
55		qmulcl 9596	. . . 4 |- ( ( K e. QQ /\ M e. QQ ) -> ( K x. M ) e. QQ )
56	52, 54, 55	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( K x. M ) e. QQ )
57		nnq 9592	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
58	16, 57	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. QQ )
59		qlttri2 9600	. . 3 |- ( ( ( K x. M ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
60	56, 58, 59	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
61	50, 60	mpbird 166	1 |- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   -ucneg 8091   NNcn 8878   ZZcz 9212   QQcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by:  dvdsle  11804