Theorem dvdslelemd 12397

Description: Lemma for dvdsle 12398. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdslelemd.2	|- ( ph -> N e. NN )
dvdslelemd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdslelemd.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	|- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		0z 9483	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		zlelttric 9517	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
5		zgt0ge1 9531	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
7	6	orbi2d 795	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 0 < K ) <-> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) ) )
8	4, 7	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) )
9	1	zred 9595	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. RR )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. RR )
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	11	zred 9595	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. RR )
14	10, 13	remulcld 8203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) e. RR )
15		0red 8173	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 e. RR )
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
17	16	nnred 9149	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> N e. RR )
19	10	renegcld 8552	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> -u K e. RR )
20	9	le0neg1d 8690	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K <_ 0 <-> 0 <_ -u K ) )
21	20	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ -u K )
22		0red 8173	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
23	16	nngt0d 9180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N < M )
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8298	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
26	22, 12, 25	ltled 8291	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ M )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ M )
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
29	14	le0neg1d 8690	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
30	10	recnd 8201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. CC )
31	13	recnd 8201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. CC )
32	30, 31	mulneg1d 8583	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( -u K x. M ) = -u ( K x. M ) )
33	32	breq2d 4098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( 0 <_ ( -u K x. M ) <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
34	29, 33	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ ( -u K x. M ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) <_ 0 )
36	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 < N )
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) < N )
38	37	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 -> ( K x. M ) < N ) )
39	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N e. RR )
40	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M e. RR )
41	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K e. RR )
42	41, 40	remulcld 8203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> ( K x. M ) e. RR )
43	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < M )
44	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 0 <_ M )
45		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ K )
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 9111	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M <_ ( K x. M ) )
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8596	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < ( K x. M ) )
48	47	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 <_ K -> N < ( K x. M ) ) )
49	38, 48	orim12d 791	. . 3 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
50	8, 49	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) )
51		zq 9853	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. QQ )
53		zq 9853	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
54	11, 53	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. QQ )
55		qmulcl 9864	. . . 4 |- ( ( K e. QQ /\ M e. QQ ) -> ( K x. M ) e. QQ )
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( K x. M ) e. QQ )
57		nnq 9860	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
58	16, 57	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. QQ )
59		qlttri2 9868	. . 3 |- ( ( ( K x. M ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
60	56, 58, 59	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
61	50, 60	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   x. cmul 8030   < clt 8207   <_ cle 8208   -ucneg 8344   NNcn 9136   ZZcz 9472   QQcq 9846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-q 9847

This theorem is referenced by:  dvdsle  12398