Theorem dvdslelemd 11991

Description: Lemma for dvdsle 11992. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdslelemd.2	|- ( ph -> N e. NN )
dvdslelemd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdslelemd.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	|- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		0z 9334	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		zlelttric 9368	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
5		zgt0ge1 9381	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
7	6	orbi2d 791	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 0 < K ) <-> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) ) )
8	4, 7	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) )
9	1	zred 9445	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. RR )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. RR )
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	11	zred 9445	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. RR )
14	10, 13	remulcld 8055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) e. RR )
15		0red 8025	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 e. RR )
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
17	16	nnred 9000	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> N e. RR )
19	10	renegcld 8404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> -u K e. RR )
20	9	le0neg1d 8541	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K <_ 0 <-> 0 <_ -u K ) )
21	20	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ -u K )
22		0red 8025	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
23	16	nngt0d 9031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N < M )
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8150	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
26	22, 12, 25	ltled 8143	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ M )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ M )
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8645	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
29	14	le0neg1d 8541	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
30	10	recnd 8053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. CC )
31	13	recnd 8053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. CC )
32	30, 31	mulneg1d 8435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( -u K x. M ) = -u ( K x. M ) )
33	32	breq2d 4045	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( 0 <_ ( -u K x. M ) <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
34	29, 33	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ ( -u K x. M ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) <_ 0 )
36	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 < N )
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) < N )
38	37	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 -> ( K x. M ) < N ) )
39	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N e. RR )
40	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M e. RR )
41	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K e. RR )
42	41, 40	remulcld 8055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> ( K x. M ) e. RR )
43	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < M )
44	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 0 <_ M )
45		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ K )
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 8962	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M <_ ( K x. M ) )
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8447	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < ( K x. M ) )
48	47	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 <_ K -> N < ( K x. M ) ) )
49	38, 48	orim12d 787	. . 3 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
50	8, 49	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) )
51		zq 9697	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. QQ )
53		zq 9697	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
54	11, 53	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. QQ )
55		qmulcl 9708	. . . 4 |- ( ( K e. QQ /\ M e. QQ ) -> ( K x. M ) e. QQ )
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( K x. M ) e. QQ )
57		nnq 9704	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
58	16, 57	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. QQ )
59		qlttri2 9712	. . 3 |- ( ( ( K x. M ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
60	56, 58, 59	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
61	50, 60	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2167   =/= wne 2367   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RRcr 7876   0cc0 7877   1c1 7878   x. cmul 7882   < clt 8059   <_ cle 8060   -ucneg 8196   NNcn 8987   ZZcz 9323   QQcq 9690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-q 9691

This theorem is referenced by:  dvdsle  11992