Theorem dvdslelemd 12593

Description: Lemma for dvdsle 12594. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdslelemd.2	|- ( ph -> N e. NN )
dvdslelemd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdslelemd.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	|- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		0z 9638	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		zlelttric 9672	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
4	1, 2, 3	sylancl 417	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
5		zgt0ge1 9686	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
7	6	orbi2d 802	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 0 < K ) <-> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) ) )
8	4, 7	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) )
9	1	zred 9751	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. RR )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. RR )
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	11	zred 9751	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. RR )
14	10, 13	remulcld 8350	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) e. RR )
15		0red 8321	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 e. RR )
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
17	16	nnred 9300	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> N e. RR )
19	10	renegcld 8701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> -u K e. RR )
20	9	le0neg1d 8839	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K <_ 0 <-> 0 <_ -u K ) )
21	20	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ -u K )
22		0red 8321	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
23	16	nngt0d 9331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N < M )
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8446	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
26	22, 12, 25	ltled 8439	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ M )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ M )
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8943	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
29	14	le0neg1d 8839	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
30	10	recnd 8348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. CC )
31	13	recnd 8348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. CC )
32	30, 31	mulneg1d 8732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( -u K x. M ) = -u ( K x. M ) )
33	32	breq2d 4140	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( 0 <_ ( -u K x. M ) <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
34	29, 33	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ ( -u K x. M ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) <_ 0 )
36	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 < N )
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) < N )
38	37	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 -> ( K x. M ) < N ) )
39	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N e. RR )
40	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M e. RR )
41	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K e. RR )
42	41, 40	remulcld 8350	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> ( K x. M ) e. RR )
43	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < M )
44	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 0 <_ M )
45		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ K )
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 9262	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M <_ ( K x. M ) )
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8745	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < ( K x. M ) )
48	47	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 <_ K -> N < ( K x. M ) ) )
49	38, 48	orim12d 798	. . 3 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
50	8, 49	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) )
51		zq 10009	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. QQ )
53		zq 10009	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
54	11, 53	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. QQ )
55		qmulcl 10020	. . . 4 |- ( ( K e. QQ /\ M e. QQ ) -> ( K x. M ) e. QQ )
56	52, 54, 55	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> ( K x. M ) e. QQ )
57		nnq 10016	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
58	16, 57	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. QQ )
59		qlttri2 10024	. . 3 |- ( ( ( K x. M ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
60	56, 58, 59	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
61	50, 60	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   =/= wne 2420   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079   RRcr 8172   0cc0 8173   1c1 8174   x. cmul 8178   < clt 8354   <_ cle 8355   -ucneg 8492   NNcn 9287   ZZcz 9627   QQcq 10002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-q 10003

This theorem is referenced by:  dvdsle  12594