Theorem dvdslelemd 12554

Description: Lemma for dvdsle 12555. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdslelemd.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvdslelemd.2	|- ( ph -> N e. NN )
dvdslelemd.3	|- ( ph -> K e. ZZ )
dvdslelemd.lt	|- ( ph -> N < M )

Assertion

Ref	Expression
dvdslelemd	|- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Proof of Theorem dvdslelemd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslelemd.3	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
2		0z 9605	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		zlelttric 9639	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 0 < K ) )
5		zgt0ge1 9653	. . . . . 6 |- ( K e. ZZ -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 < K <-> 1 <_ K ) )
7	6	orbi2d 798	. . . 4 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 0 < K ) <-> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) ) )
8	4, 7	mpbid 147	. . 3 |- ( ph -> ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) )
9	1	zred 9718	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. RR )
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. RR )
11		dvdslelemd.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
12	11	zred 9718	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. RR )
14	10, 13	remulcld 8320	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) e. RR )
15		0red 8291	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 e. RR )
16		dvdslelemd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
17	16	nnred 9267	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR )
18	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> N e. RR )
19	10	renegcld 8670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> -u K e. RR )
20	9	le0neg1d 8808	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K <_ 0 <-> 0 <_ -u K ) )
21	20	biimpa 296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ -u K )
22		0red 8291	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
23	16	nngt0d 9298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < N )
24		dvdslelemd.lt	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N < M )
25	22, 17, 12, 23, 24	lttrd 8415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < M )
26	22, 12, 25	ltled 8408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ M )
27	26	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ M )
28	19, 13, 21, 27	mulge0d 8912	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 <_ ( -u K x. M ) )
29	14	le0neg1d 8808	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
30	10	recnd 8318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> K e. CC )
31	13	recnd 8318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> M e. CC )
32	30, 31	mulneg1d 8701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( -u K x. M ) = -u ( K x. M ) )
33	32	breq2d 4126	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( 0 <_ ( -u K x. M ) <-> 0 <_ -u ( K x. M ) ) )
34	29, 33	bitr4d 191	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( ( K x. M ) <_ 0 <-> 0 <_ ( -u K x. M ) ) )
35	28, 34	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) <_ 0 )
36	23	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> 0 < N )
37	14, 15, 18, 35, 36	lelttrd 8414	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K <_ 0 ) -> ( K x. M ) < N )
38	37	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( K <_ 0 -> ( K x. M ) < N ) )
39	17	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N e. RR )
40	12	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M e. RR )
41	9	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> K e. RR )
42	41, 40	remulcld 8320	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> ( K x. M ) e. RR )
43	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < M )
44	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 0 <_ M )
45		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> 1 <_ K )
46	40, 41, 44, 45	lemulge12d 9229	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> M <_ ( K x. M ) )
47	39, 40, 42, 43, 46	ltletrd 8714	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ K ) -> N < ( K x. M ) )
48	47	ex 115	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 <_ K -> N < ( K x. M ) ) )
49	38, 48	orim12d 794	. . 3 |- ( ph -> ( ( K <_ 0 \/ 1 <_ K ) -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
50	8, 49	mpd 13	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) )
51		zq 9976	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. QQ )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. QQ )
53		zq 9976	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. QQ )
54	11, 53	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. QQ )
55		qmulcl 9987	. . . 4 |- ( ( K e. QQ /\ M e. QQ ) -> ( K x. M ) e. QQ )
56	52, 54, 55	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( K x. M ) e. QQ )
57		nnq 9983	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
58	16, 57	syl 14	. . 3 |- ( ph -> N e. QQ )
59		qlttri2 9991	. . 3 |- ( ( ( K x. M ) e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
60	56, 58, 59	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( K x. M ) =/= N <-> ( ( K x. M ) < N \/ N < ( K x. M ) ) ) )
61	50, 60	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( K x. M ) =/= N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   -ucneg 8461   NNcn 9254   ZZcz 9594   QQcq 9969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970

This theorem is referenced by:  dvdsle  12555