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Theorem dvdslelemd 11530
Description: Lemma for dvdsle 11531. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdslelemd.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvdslelemd.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dvdslelemd.3  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
dvdslelemd.lt  |-  ( ph  ->  N  <  M )
Assertion
Ref Expression
dvdslelemd  |-  ( ph  ->  ( K  x.  M
)  =/=  N )

Proof of Theorem dvdslelemd
StepHypRef Expression
1 dvdslelemd.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
2 0z 9058 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
3 zlelttric 9092 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
41, 2, 3sylancl 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  \/  0  <  K ) )
5 zgt0ge1 9105 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0  <  K  <->  1  <_  K ) )
61, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  <  K  <->  1  <_  K ) )
76orbi2d 779 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K  <_ 
0  \/  0  < 
K )  <->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) ) )
84, 7mpbid 146 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  \/  1  <_  K ) )
91zred 9166 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
109adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  K  e.  RR )
11 dvdslelemd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1211zred 9166 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
1312adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  M  e.  RR )
1410, 13remulcld 7789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( K  x.  M )  e.  RR )
15 0red 7760 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
16 dvdslelemd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1716nnred 8726 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
1817adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  N  e.  RR )
1910renegcld 8135 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  -u K  e.  RR )
209le0neg1d 8272 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  <->  0  <_  -u K ) )
2120biimpa 294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <_  -u K )
22 0red 7760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2316nngt0d 8757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  N )
24 dvdslelemd.lt . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  <  M )
2522, 17, 12, 23, 24lttrd 7881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
2622, 12, 25ltled 7874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
2726adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <_  M )
2819, 13, 21, 27mulge0d 8376 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <_  (
-u K  x.  M
) )
2914le0neg1d 8272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  -u ( K  x.  M )
) )
3010recnd 7787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  K  e.  CC )
3113recnd 7787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  M  e.  CC )
3230, 31mulneg1d 8166 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( -u K  x.  M )  =  -u ( K  x.  M
) )
3332breq2d 3936 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( 0  <_  ( -u K  x.  M )  <->  0  <_  -u ( K  x.  M
) ) )
3429, 33bitr4d 190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( ( K  x.  M )  <_  0  <->  0  <_  ( -u K  x.  M ) ) )
3528, 34mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( K  x.  M )  <_  0
)
3623adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  0  <  N )
3714, 15, 18, 35, 36lelttrd 7880 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  <_  0 )  ->  ( K  x.  M )  <  N
)
3837ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  <_  0  ->  ( K  x.  M
)  <  N )
)
3917adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  N  e.  RR )
4012adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  M  e.  RR )
419adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  K  e.  RR )
4241, 40remulcld 7789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  ( K  x.  M )  e.  RR )
4324adantr 274 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  N  <  M )
4426adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  0  <_  M )
45 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  1  <_  K )
4640, 41, 44, 45lemulge12d 8689 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  M  <_  ( K  x.  M ) )
4739, 40, 42, 43, 46ltletrd 8178 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <_  K )  ->  N  <  ( K  x.  M ) )
4847ex 114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  K  ->  N  <  ( K  x.  M ) ) )
4938, 48orim12d 775 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  <_ 
0  \/  1  <_  K )  ->  (
( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) ) )
508, 49mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  M )  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) )
51 zq 9411 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
521, 51syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  QQ )
53 zq 9411 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  QQ )
5411, 53syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  QQ )
55 qmulcl 9422 . . . 4  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  M  e.  QQ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  QQ )
5652, 54, 55syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  x.  M
)  e.  QQ )
57 nnq 9418 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
5816, 57syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  QQ )
59 qlttri2 9426 . . 3  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) ) )
6056, 58, 59syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  M )  =/=  N  <->  ( ( K  x.  M
)  <  N  \/  N  <  ( K  x.  M ) ) ) )
6150, 60mpbird 166 1  |-  ( ph  ->  ( K  x.  M
)  =/=  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    e. wcel 1480    =/= wne 2306   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614    x. cmul 7618    < clt 7793    <_ cle 7794   -ucneg 7927   NNcn 8713   ZZcz 9047   QQcq 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405
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