ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltlem1 Unicode version

Theorem zltlem1 9130
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zltlem1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem zltlem1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9111 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 zleltp1 9128 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( N  -  1 )  <->  M  <  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
31, 2sylan2 284 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( N  -  1 )  <-> 
M  <  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
4 zcn 9078 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 7732 . . . . 5  |-  1  e.  CC
6 npcan 7990 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 409 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
87adantl 275 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
98breq2d 3944 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
( N  -  1 )  +  1 )  <-> 
M  <  N )
)
103, 9bitr2d 188 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777   CCcc 7637   1c1 7640    + caddc 7642    < clt 7819    <_ cle 7820    - cmin 7952   ZZcz 9073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-ltadd 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074
This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  9137  nn0lt2  9151  nn0le2is012  9152  nnltlem1  9155  nnm1ge0  9156  zextlt  9162  uzm1  9375  elfzm11  9895  elfzo  9950  fzosplitprm1  10035  intfracq  10117  iseqf1olemqcl  10283  iseqf1olemnab  10285  iseqf1olemab  10286  seq3f1olemqsumkj  10295  seq3f1olemqsum  10297  seq3coll  10609  fzm1ndvds  11577  nn0seqcvgd  11745  isprm3  11822  pw2dvds  11867
  Copyright terms: Public domain W3C validator