Theorem zltlem1 9706

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zltlem1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem zltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9686	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zleltp1 9704	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
4		zcn 9653	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5		ax-1cn 8272	. . . . 5 |- 1 e. CC
6		npcan 8536	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 417	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	breq2d 4142	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < ( ( N - 1 ) + 1 ) <-> M < N ) )
10	3, 9	bitr2d 189	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8498   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  nn0ltlem1  9713  nn0lt2  9731  nn0le2is012  9732  nnltlem1  9735  nnm1ge0  9736  zextlt  9742  uzm1  9962  elfzm11  10508  elfzo  10566  fzosplitprm1  10663  intfracq  10770  iseqf1olemqcl  10949  iseqf1olemnab  10951  iseqf1olemab  10952  seq3f1olemqsumkj  10961  seq3f1olemqsum  10963  seqf1oglem1  10969  bcm1n  11221  seq3coll  11308  fzm1ndvds  12639  bitscmp  12741  nn0seqcvgd  12835  isprm3  12912  isprm5lem  12936  isprm5  12937  pwbdvds  12961  prmdiveq  13034  4sqlem12  13201  ballotfilemimin  13298  ballotfilemfrcn0  13322  wilthlem1  16151  lgseisenlem2  16288  lgsquadlem1  16294  2lgslem1a1  16303  2sqlem8  16340