Theorem zltlem1 9657

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zltlem1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem zltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9637	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zleltp1 9655	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
4		zcn 9604	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5		ax-1cn 8238	. . . . 5 |- 1 e. CC
6		npcan 8501	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	breq2d 4127	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < ( ( N - 1 ) + 1 ) <-> M < N ) )
10	3, 9	bitr2d 189	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6060   CCcc 8143   1c1 8146   + caddc 8148   < clt 8326   <_ cle 8327   - cmin 8463   ZZcz 9599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-n0 9519  df-z 9600

This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  9664  nn0lt2  9682  nn0le2is012  9683  nnltlem1  9686  nnm1ge0  9687  zextlt  9693  uzm1  9908  elfzm11  10452  elfzo  10510  fzosplitprm1  10607  intfracq  10711  iseqf1olemqcl  10890  iseqf1olemnab  10892  iseqf1olemab  10893  seq3f1olemqsumkj  10902  seq3f1olemqsum  10904  seqf1oglem1  10910  bcm1n  11161  seq3coll  11244  fzm1ndvds  12573  bitscmp  12675  nn0seqcvgd  12769  isprm3  12846  isprm5lem  12869  isprm5  12870  pw2dvds  12894  prmdiveq  12964  4sqlem12  13131  ballotfilemimin  13199  ballotfilemfrcn0  13223  wilthlem1  15979  lgseisenlem2  16075  lgsquadlem1  16081  2lgslem1a1  16090  2sqlem8  16127