Theorem zltlem1 9527

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zltlem1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem zltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 9507	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zleltp1 9525	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
3	1, 2	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
4		zcn 9474	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5		ax-1cn 8115	. . . . 5 |- 1 e. CC
6		npcan 8378	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	7	adantl 277	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	breq2d 4098	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < ( ( N - 1 ) + 1 ) <-> M < N ) )
10	3, 9	bitr2d 189	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   CCcc 8020   1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   ZZcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  9534  nn0lt2  9551  nn0le2is012  9552  nnltlem1  9555  nnm1ge0  9556  zextlt  9562  uzm1  9777  elfzm11  10316  elfzo  10374  fzosplitprm1  10470  intfracq  10572  iseqf1olemqcl  10751  iseqf1olemnab  10753  iseqf1olemab  10754  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsum  10765  seqf1oglem1  10771  seq3coll  11096  fzm1ndvds  12407  bitscmp  12509  nn0seqcvgd  12603  isprm3  12680  isprm5lem  12703  isprm5  12704  pw2dvds  12728  prmdiveq  12798  4sqlem12  12965  wilthlem1  15694  lgseisenlem2  15790  lgsquadlem1  15796  2lgslem1a1  15805  2sqlem8  15842