Theorem recnz 9671

Description: The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recnz	|- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> -. ( 1 / A ) e. ZZ )

Proof of Theorem recnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recgt1i 9172	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( 0 < ( 1 / A ) /\ ( 1 / A ) < 1 ) )
2	1	simprd 114	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( 1 / A ) < 1 )
3	1	simpld 112	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> 0 < ( 1 / A ) )
4		zgt0ge1 9636	. . . 4 |- ( ( 1 / A ) e. ZZ -> ( 0 < ( 1 / A ) <-> 1 <_ ( 1 / A ) ) )
5	3, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( ( 1 / A ) e. ZZ -> 1 <_ ( 1 / A ) ) )
6		1re 8273	. . . 4 |- 1 e. RR
7		0lt1 8400	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
8		0re 8274	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
9		lttr 8347	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 < A ) -> 0 < A ) )
10	8, 6, 9	mp3an12 1364	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 < A ) -> 0 < A ) )
11	7, 10	mpani 430	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 1 < A -> 0 < A ) )
12	11	imdistani 445	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
13		gt0ap0 8900	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A # 0 )
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> A # 0 )
15		rerecclap 9004	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A # 0 ) -> ( 1 / A ) e. RR )
16	14, 15	syldan 282	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( 1 / A ) e. RR )
17		lenlt 8349	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 1 / A ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( 1 / A ) <-> -. ( 1 / A ) < 1 ) )
18	6, 16, 17	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( 1 <_ ( 1 / A ) <-> -. ( 1 / A ) < 1 ) )
19	5, 18	sylibd 149	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( ( 1 / A ) e. ZZ -> -. ( 1 / A ) < 1 ) )
20	2, 19	mt2d 630	1 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> -. ( 1 / A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   < clt 8308   <_ cle 8309   # cap 8855   / cdiv 8946   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  halfnz  9674  facndiv  11101  dvdsprmpweqle  13035