Theorem iedgex 16001

Description: Applying the indexed edge function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iedgex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem iedgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 15999	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
2		2ndexg 6361	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
3		edgfid 15988	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
4		edgfndxnn 15990	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
5	3, 4	ndxslid 13226	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 13228	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
7	2, 6	ifexd 4604	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2309	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ifcif 3619   × cxp 4746  ‘cfv 5351  2^nd c2nd 6332  ndxcnx 13198  .efcedgf 15986  iEdgciedg 15995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fo 5357  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-2nd 6334  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-edgf 15987  df-iedg 15997

This theorem is referenced by:  isuhgrm  16053  isushgrm  16054  uhgrunop  16069  isupgren  16077  upgrop  16086  isumgren  16087  upgrunop  16109  umgrunop  16111  isuspgren  16139  isusgren  16140  usgrop  16148  usgrausgrien  16151  ausgrumgrien  16152  ausgrusgrien  16153  usgrsizedgen  16195  uhgrspansubgrlem  16258  uhgrspanop  16264  upgrspanop  16265  umgrspanop  16266  usgrspanop  16267  vtxdgfval  16270  vtxdgop  16274  wksfval  16304  wlkex  16307  wlk1walkdom  16341  trlsegvdeglem3  16444  trlsegvdeglem5  16446  eupthvdres  16457  eupth2lem3fi  16458  eupth2lembfi  16459