Theorem iedgex 16431

Description: Applying the indexed edge function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iedgex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem iedgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 16429	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
2		2ndexg 6402	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
3		edgfid 16418	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
4		edgfndxnn 16420	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
5	3, 4	ndxslid 13429	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 13431	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
7	2, 6	ifexd 4630	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638   × cxp 4772  ‘cfv 5377  2^nd c2nd 6373  ndxcnx 13401  .efcedgf 16416  iEdgciedg 16425

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-2nd 6375  df-sub 8501  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-dec 9783  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-edgf 16417  df-iedg 16427

This theorem is used by:  isuhgrm  16483  isushgrm  16484  uhgrunop  16499  isupgren  16507  upgrop  16516  isumgren  16517  upgrunop  16539  umgrunop  16541  isuspgren  16569  isusgren  16570  usgrop  16578  usgrausgrien  16581  ausgrumgrien  16582  ausgrusgrien  16583  usgrsizedgen  16625  uhgrspansubgrlem  16688  uhgrspanop  16694  upgrspanop  16695  umgrspanop  16696  usgrspanop  16697  vtxdgfval  16700  vtxdgop  16704  wksfval  16734  wlkex  16737  wlk1walkdom  16771  trlsegvdeglem3  16874  trlsegvdeglem5  16876  eupthvdres  16887  eupth2lem3fi  16888  eupth2lembfi  16889