Theorem iedgex 15841

Description: Applying the indexed edge function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
iedgex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem iedgex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 15839	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
2		2ndexg 6323	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (2nd ‘𝐺) ∈ V)
3		edgfid 15828	. . . . 5 ⊢ .ef = Slot (.ef‘ndx)
4		edgfndxnn 15830	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
5	3, 4	ndxslid 13078	. . . 4 ⊢ (.ef = Slot (.ef‘ndx) ∧ (.ef‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	slotex 13080	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.ef‘𝐺) ∈ V)
7	2, 6	ifexd 4576	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) ∈ V)
8	1, 7	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ifcif 3602   × cxp 4718  ‘cfv 5321  2^nd c2nd 6294  ndxcnx 13050  .efcedgf 15826  iEdgciedg 15835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fo 5327  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-2nd 6296  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-edgf 15827  df-iedg 15837

This theorem is referenced by:  isuhgrm  15892  isushgrm  15893  uhgrunop  15908  isupgren  15916  upgrop  15925  isumgren  15926  upgrunop  15946  umgrunop  15948  isuspgren  15976  isusgren  15977  usgrop  15985  usgrausgrien  15988  ausgrumgrien  15989  ausgrusgrien  15990  usgrsizedgen  16032  vtxdgfval  16074  vtxdgop  16078  wksfval  16094  wlkex  16097  wlk1walkdom  16131