Theorem clwwlknon 16836

Description: The set of closed walks on vertex 𝑋 of length 𝑁 in a graph 𝐺 as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑋

Proof of Theorem clwwlknon

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonmpo 16835	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
2	1	elmpocl 6284	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		fveq1 5694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
4	3	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
5	4	elrab 2982	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ↔ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑥‘0) = 𝑋))
6	5	simprbi 275	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → (𝑥‘0) = 𝑋)
7		elrabi 2979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → 𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
8		clwwlkclwwlkn 16816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑥 ∈ (ClWWalks‘𝐺))
9		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10	9	clwwlkbp 16802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
11	7, 8, 10	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ≠ ∅))
12	11	simp2d 1041	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → 𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
13	11	simp3d 1042	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → 𝑥 ≠ ∅)
14		fstwrdne 11359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → (𝑥‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12, 13, 14	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → (𝑥‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
16	6, 15	eqeltrrd 2316	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
17		clwwlknnn 16819	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	7, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnnn0d 9625	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	16, 19	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
21		clwwlkex 16805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ V → (ClWWalks‘𝑔) ∈ V)
22	21	elv 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (ClWWalks‘𝑔) ∈ V
23	22	rabex 4280	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} ∈ V
24	23	gen2 1503	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑛∀𝑔{𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} ∈ V
25		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	9	1vgrex 16427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ V)
28		df-clwwlkn 16811	. . . . . . . 8 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
29	28	mpofvex 6441	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛∀𝑔{𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛} ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V)
30	24, 25, 27, 29	mp3an2i 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V)
31		rabexg 4279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V)
32	30, 31	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V)
33		eqeq2 2248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
34	33	rabbidv 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
35		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
36	35	rabeqdv 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
37	34, 36, 1	ovmpog 6223	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
38	32, 37	mpd3an3 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
39	38	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
40	2, 20, 39	pm5.21nii 716	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
41	40	eqriv 2235	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009  ∀wal 1400   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8180  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568  ♯chash 11230  Word cword 11320  Vtxcvtx 16419  ClWWalkscclwwlk 16798   ClWWalksN cclwwlkn 16810  ClWWalksNOncclwwlknon 16833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11231  df-word 11321  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-vtx 16421  df-clwwlk 16799  df-clwwlkn 16811  df-clwwlknon 16834

This theorem is used by:  isclwwlknon  16837  clwwlknon2  16841