Theorem uspgr1edc 16059

Description: A simple pseudograph with one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
uspgr1edc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
uspgr1edc	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem uspgr1edc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		uspgr1e.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		uspgr1e.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		prexg 4296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
6		snidg 3695	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
8		f1sng 5620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
9	1, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
10	2, 3	prssd 3827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
11		uspgr1e.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	10, 11	sseqtrdi 3272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
13		elpwg 3657	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
14	5, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
16		uspgr1edc.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
17	15, 2, 3, 16	upgr1elem1 15941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
18		f1ss 5542	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
19	9, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
20	5, 2, 3, 16	upgr1elem1 15941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
21		f1ss 5542	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
22	9, 20, 21	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
23		f1dm 5541	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
24		f1eq2 5532	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
25	22, 23, 24	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
26	19, 25	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
27		uspgr1e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
28	27	dmeqd 4928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
29		eqidd 2230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
30	27, 28, 29	f1eq123d 5569	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
32	11	1vgrex 15842	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
33		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
34		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
35	33, 34	isuspgren 15976	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
36	2, 32, 35	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
37	31, 36	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  dom cdm 4720  –1-1→wf1 5318  ‘cfv 5321  1_oc1o 6566  2_oc2o 6567   ≈ cen 6898  Vtxcvtx 15834  iEdgciedg 15835  USPGraphcuspgr 15972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-uspgren 15974

This theorem is referenced by:  usgr1e  16060  uspgr1eopdc  16062