Theorem uspgr1edc 16493

Description: A simple pseudograph with one edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
uspgr1edc.dc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
uspgr1edc	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem uspgr1edc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
2		uspgr1e.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		uspgr1e.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
4		prexg 4349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ V)
6		snidg 3738	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}})
8		f1sng 5683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ {{𝐵, 𝐶}}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
9	1, 7, 8	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}})
10	2, 3	prssd 3874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝑉)
11		uspgr1e.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	10, 11	sseqtrdi 3296	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺))
13		elpwg 3696	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
14	5, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (Vtx‘𝐺)))
15	12, 14	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
16		uspgr1edc.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐵 = 𝐶)
17	15, 2, 3, 16	upgr1elem1 16373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
18		f1ss 5604	. . . . 5 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
19	9, 17, 18	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
20	5, 2, 3, 16	upgr1elem1 16373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
21		f1ss 5604	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{{𝐵, 𝐶}} ∧ {{𝐵, 𝐶}} ⊆ {𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}) → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
22	9, 20, 21	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
23		f1dm 5603	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ V ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
24		f1eq2 5594	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
25	22, 23, 24	3syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:{𝐴}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
26	19, 25	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
27		uspgr1e.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
28	27	dmeqd 4983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
29		eqidd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
30	27, 28, 29	f1eq123d 5631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}:dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
32	11	1vgrex 16273	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
33		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
34		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
35	33, 34	isuspgren 16410	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
36	2, 32, 35	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
37	31, 36	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  {csn 3709  {cpr 3710  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  –1-1→wf1 5374  ‘cfv 5377  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  USPGraphcuspgr 16406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sub 8499  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-uspgren 16408

This theorem is used by:  usgr1e  16494  uspgr1eopdc  16496  1loopgruspgr  16556