Theorem 2fveq3 5700

Description: Equality theorem for nested function values. (Contributed by AV, 14-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2fveq3	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐹‘(𝐺‘𝐴)) = (𝐹‘(𝐺‘𝐵)))

Proof of Theorem 2fveq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5695	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) = (𝐺‘𝐵))
2	1	fveq2d 5699	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐹‘(𝐺‘𝐴)) = (𝐹‘(𝐺‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  difinfsnlem  7440  ctssdclemn0  7451  cc2  7634  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  seq3homo  10979  seqhomog  10982  hashf1  11303  seq3coll  11310  fsumf1o  12176  iserabs  12261  explecnv  12291  cvgratnnlemnexp  12310  cvgratnnlemmn  12311  fprodf1o  12374  nninfctlemfo  12836  alginv  12844  algcvg  12845  algcvga  12848  ctiunctlemu1st  13377  ctiunctlemu2nd  13378  ctiunctlemudc  13380  ctiunctlemfo  13382  prdsbasprj  14266  prdsplusgfval  14268  prdsmulrfval  14270  prdsbas3  14271  prdsinvlem  14280  isunitd  14497  logfac  16090  bposlem7  16278  bposlem9  16280  wkslem1  16727  wkslem2  16728  2wlklem  16783  eupthseg  16859  eupth2lem3fi  16883  subctctexmid  17196