Theorem fveq2 5414

Description: Equality theorem for function value. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
fveq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))

Proof of Theorem fveq2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3927	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑥 ↔ 𝐵𝐹𝑥))
2	1	iotabidv 5104	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (℩𝑥𝐴𝐹𝑥) = (℩𝑥𝐵𝐹𝑥))
3		df-fv 5126	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
4		df-fv 5126	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐵) = (℩𝑥𝐵𝐹𝑥)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2195	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3924  ℩cio 5081  ‘cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  fveq2i  5417  fveq2d  5418  2fveq3  5419  fvifdc  5436  dffn5imf  5469  fvelimab  5470  ssimaex  5475  fvco4  5486  fvmptssdm  5498  fvmptf  5506  eqfnfv2f  5515  fvelrn  5544  ralrnmpt  5555  rexrnmpt  5556  ffnfvf  5572  fmptco  5579  cofmpt  5582  fcompt  5583  fcoconst  5584  fnressn  5599  fressnfv  5600  fconstfvm  5631  foco2  5648  funiunfvdmf  5658  f1veqaeq  5663  dff13f  5664  f1fveq  5666  f1elima  5667  f1ocnvfv  5673  f1ocnvfvb  5674  fcofo  5678  cocan2  5682  fliftfun  5690  isorel  5702  isocnv  5705  isotr  5710  f1oiso2  5721  imbrov2fvoveq  5792  ffnov  5868  eqfnov  5870  fnovim  5872  fnrnov  5909  foov  5910  funimassov  5913  ovelimab  5914  suppssfv  5971  ofvalg  5984  ofrval  5985  offval2  5990  ofrfval2  5991  ofco  5993  caofinvl  5997  op1std  6039  op2ndd  6040  1stval2  6046  2ndval2  6047  unielxp  6065  reldm  6077  oprabco  6107  2ndconst  6112  f1o2ndf1  6118  mpoxopn0yelv  6129  mpoxopoveq  6130  smoel  6190  tfrlem1  6198  tfrlem3-2d  6202  tfrlem5  6204  tfrlem9  6209  tfr0dm  6212  tfrlemiubacc  6220  tfrlemi1  6222  tfrexlem  6224  tfr1onlemsucfn  6230  tfr1onlemsucaccv  6231  tfr1onlembxssdm  6233  tfr1onlembfn  6234  tfr1onlemubacc  6236  tfr1onlemaccex  6238  tfr1onlemres  6239  tfri1dALT  6241  tfrcllemsucfn  6243  tfrcllemsucaccv  6244  tfrcllembxssdm  6246  tfrcllembfn  6247  tfrcllemubacc  6249  tfrcllemaccex  6251  tfrcllemres  6252  tfrcldm  6253  tfrcl  6254  tfri3  6257  rdgtfr  6264  rdgss  6273  rdgisuc1  6274  rdgisucinc  6275  rdgon  6276  frecabex  6288  frecabcl  6289  frecfcllem  6294  frecsuclem  6296  frecsuc  6297  frecrdg  6298  oav  6343  omv  6344  oeiv  6345  fvixp  6590  cbvixp  6602  mptelixpg  6621  elixpsn  6622  dom2lem  6659  xpcomco  6713  xpmapen  6737  fidceq  6756  fieq0  6857  ordiso2  6913  djune  6956  updjudhcoinlf  6958  updjudhcoinrg  6959  updjud  6960  omp1eom  6973  0ct  6985  ctmlemr  6986  ctssdclemn0  6988  ctssdccl  6989  ctssdc  6991  enumctlemm  6992  enomnilem  7003  finomni  7005  fodjuomnilemdc  7009  fodju0  7012  fodjuomni  7014  ismkvnex  7022  fodjumkv  7027  exmidaclem  7057  mulpipq2  7172  genipv  7310  genpelxp  7312  addcanprleml  7415  addcanprlemu  7416  recexprlemm  7425  recexprlemdisj  7431  recexprlemloc  7432  recexprlem1ssl  7434  recexprlem1ssu  7435  cauappcvgprlemm  7446  cauappcvgprlemdisj  7452  cauappcvgprlemloc  7453  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  cauappcvgprlem1  7460  cauappcvgprlem2  7461  cauappcvgprlemlim  7462  cauappcvgpr  7463  caucvgprlemnkj  7467  caucvgprlemnbj  7468  caucvgprlemm  7469  caucvgprlemdisj  7475  caucvgprlemloc  7476  caucvgprlemcl  7477  caucvgprlemladdfu  7478  caucvgprlemladdrl  7479  caucvgprlem1  7480  caucvgprlem2  7481  caucvgpr  7483  caucvgprprlemell  7486  caucvgprprlemelu  7487  caucvgprprlemcbv  7488  caucvgprprlemval  7489  caucvgprprlemnkeqj  7491  caucvgprprlemnbj  7494  caucvgprprlemml  7495  caucvgprprlemmu  7496  caucvgprprlemopl  7498  caucvgprprlemlol  7499  caucvgprprlemopu  7500  caucvgprprlemloc  7504  caucvgprprlemclphr  7506  caucvgprprlemexbt  7507  caucvgprprlem1  7510  caucvgprprlem2  7511  caucvgsrlemcl  7590  caucvgsrlemfv  7592  caucvgsrlembound  7595  caucvgsrlemgt1  7596  caucvgsrlemoffval  7597  caucvgsrlemoffres  7601  caucvgsrlembnd  7602  caucvgsr  7603  axcaucvglemcau  7699  axcaucvglemres  7700  uz11  9341  cnref1o  9433  fzprval  9855  fztpval  9856  frec2uzuzd  10168  frec2uzltd  10169  frec2uzlt2d  10170  frecuzrdgrrn  10174  frec2uzrdg  10175  frecuzrdgtcl  10178  frecuzrdgg  10182  frecuzrdgfunlem  10185  frecfzennn  10192  seqeq1  10214  iseqovex  10222  seq3val  10224  seqvalcd  10225  seq3-1  10226  seqf  10227  seq3p1  10228  seqovcd  10229  seqp1cd  10232  seq3clss  10233  seq3fveq2  10235  seq3fveq  10237  seq3feq  10238  seq3shft2  10239  monoord  10242  monoord2  10243  ser3mono  10244  seq3split  10245  seq3caopr3  10247  seq3caopr2  10248  iseqf1olemkle  10250  iseqf1olemklt  10251  iseqf1olemqval  10253  iseqf1olemqk  10260  iseqf1olemjpcl  10261  iseqf1olemqpcl  10262  iseqf1olemfvp  10263  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3f1olemqsum  10266  seq3f1olemstep  10267  seq3f1olemp  10268  seq3f1oleml  10269  seq3f1o  10270  seq3id2  10275  seq3homo  10276  seq3z  10277  ser3ge0  10283  ser3le  10284  exp3vallem  10287  exp3val  10288  facp1  10469  faccl  10474  facdiv  10477  facwordi  10479  faclbnd  10480  facubnd  10484  bcval  10488  bcval5  10502  fz1eqb  10530  omgadd  10541  hashxp  10565  zfz1isolem1  10576  zfz1iso  10577  seq3coll  10578  seq3shft  10603  reval  10614  replim  10624  cj11  10670  caucvgre  10746  cvg1nlemcau  10749  cvg1nlemres  10750  rexuz3  10755  absval  10766  resqrexlemover  10775  resqrexlemdecn  10777  resqrexlemlo  10778  resqrexlemcalc3  10781  resqrexlemnm  10783  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemoverl  10786  resqrexlemglsq  10787  resqrexlemga  10788  resqrexlemsqa  10789  resqrexlemex  10790  abs00bd  10831  cau3lem  10879  caubnd2  10882  climconst  11052  climmpt  11062  climshftlemg  11064  climcn1  11070  climle  11096  climub  11106  climserle  11107  climcau  11109  climcvg1nlem  11111  climcvg1n  11112  serf0  11114  fsum3cvg  11139  summodclem3  11142  summodclem2a  11143  summodclem2  11144  summodc  11145  zsumdc  11146  fsum3  11149  fsumf1o  11152  fisumss  11154  fsum3cvg2  11156  fsum3ser  11159  fsumcl2lem  11160  fsumadd  11168  sumsnf  11171  isummulc2  11188  isumge0  11192  isumadd  11193  fsum2dlemstep  11196  fsummulc2  11210  fsumconst  11216  fsumrelem  11233  isumshft  11252  isum1p  11254  isumnn0nn  11255  isumrpcl  11256  isumlessdc  11258  cvgratnnlemnexp  11286  cvgratnnlemmn  11287  cvgratnnlemseq  11288  cvgratnnlemabsle  11289  cvgratnnlemfm  11291  cvgratnnlemrate  11292  cvgratnn  11293  cvgratz  11294  mertenslemi1  11297  mertenslem2  11298  mertensabs  11299  clim2prod  11301  prodfap0  11307  prodfrecap  11308  prodfdivap  11309  fproddccvg  11334  eftvalcn  11352  ef0lem  11355  ege2le3  11366  efcj  11368  efaddlem  11369  eftlub  11385  efgt1p2  11390  reef11  11395  tanvalap  11404  efieq1re  11467  eirraplem  11472  dvdsabseq  11534  dvdsfac  11547  zsupcllemex  11628  infssuzex  11631  gcd0id  11656  nn0seqcvgd  11711  alginv  11717  algcvg  11718  algcvga  11721  algfx  11722  eucalglt  11727  lcmid  11750  qredeu  11767  prmfac1  11819  sqne2sq  11844  qnumdenbi  11859  dfphi2  11885  ennnfonelemk  11902  ennnfonelemp1  11908  ennnfoneleminc  11913  ennnfonelemkh  11914  ennnfonelemhf1o  11915  ennnfonelemex  11916  ennnfonelemhom  11917  ennnfonelemrn  11921  ennnfonelemnn0  11924  ennnfonelemr  11925  ennnfonelemim  11926  ctinfomlemom  11929  ctinfom  11930  ctiunctlemfo  11941  sloteq  11953  topnvalg  12121  istps  12188  clsfval  12259  cnpval  12356  lmconst  12374  txcnp  12429  upxp  12430  uptx  12432  txlm  12437  lmcn2  12438  cnmpt11  12441  cnmpt11f  12442  cnmpt1t  12443  cnmpt21  12449  cnmpt21f  12450  cnmpt2t  12451  mopnval  12600  isxms  12609  isms  12611  comet  12657  mopnex  12663  xmetxp  12665  xmetxpbl  12666  txmetcnp  12676  txmetcn  12677  qtopbasss  12679  cncfi  12723  cncfmpt1f  12742  ivthinclemlm  12770  ivthinclemum  12771  ivthinclemlopn  12772  ivthinclemlr  12773  ivthinclemuopn  12774  ivthinclemur  12775  ivthinclemdisj  12776  ivthinclemloc  12777  ivthinc  12779  ivthdec  12780  cnlimci  12800  limccnpcntop  12802  eldvap  12809  dvcoapbr  12829  dvcj  12831  dvfre  12832  dveflem  12844  sin0pilem2  12852  pilem3  12853  coseq0q4123  12904  coseq0negpitopi  12906  subctctexmid  13185  nnsf  13188  nninfalllemn  13191  nninfalllem1  13192  nninfomnilem  13203  nninffeq  13205  qdencn  13211  isomninnlem  13214  trilpolemclim  13218  trilpolemcl  13219  trilpolemisumle  13220  trilpolemeq1  13222  trilpolemlt1  13223  trilpo  13225