ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserabs GIF version

Theorem iserabs 11497
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iserabs.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iserabs.2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
iserabs.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iserabs.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
iserabs.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
iserabs (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ≀ 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑀   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem iserabs
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iserabs.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 iserabs.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 iserabs.2 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 zex 9276 . . . . . . 7 β„€ ∈ V
5 uzssz 9561 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
64, 5ssexi 4153 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∈ V
71, 6eqeltri 2260 . . . . 5 𝑍 ∈ V
87mptex 5755 . . . 4 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ∈ V
98a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ∈ V)
10 iserabs.6 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
111, 2, 10serf 10488 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
1211ffvelcdmda 5664 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
13 simpr 110 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
1412abscld 11204 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
15 2fveq3 5532 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
16 eqid 2187 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))
1715, 16fvmptg 5605 . . . 4 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ∈ ℝ) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
1813, 14, 17syl2anc 411 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
191, 3, 9, 2, 12, 18climabs 11342 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š))) ⇝ (absβ€˜π΄))
20 iserabs.3 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐡)
2118, 14eqeltrd 2264 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
22 iserabs.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
2310abscld 11204 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2422, 23eqeltrd 2264 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
251, 2, 24serfre 10489 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐺):π‘βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 5664 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
272adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
28 eluzelz 9551 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2928, 1eleq2s 2282 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
3029adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
3127, 30fzfigd 10445 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
32 elfzuz 10035 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3332, 1eleqtrrdi 2281 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3433, 10sylan2 286 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3534adantlr 477 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3631, 35fsumabs 11487 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
37 eqidd 2188 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
381eleq2i 2254 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3938biimpi 120 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4039adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
411eleq2i 2254 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4241, 10sylan2br 288 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4342adantlr 477 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4437, 40, 43fsum3ser 11419 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(πΉβ€˜π‘˜) = (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›))
4544fveq2d 5531 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(πΉβ€˜π‘˜)) = (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)))
4622adantlr 477 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
4741, 46sylan2br 288 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
4823adantlr 477 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
4941, 48sylan2br 288 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
5049recnd 8000 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
5147, 40, 50fsum3ser 11419 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
5236, 45, 513brtr3d 4046 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘›)) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
5318, 52eqbrtrd 4037 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ (absβ€˜(seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘š)))β€˜π‘›) ≀ (seq𝑀( + , 𝐺)β€˜π‘›))
541, 2, 19, 20, 21, 26, 53climle 11356 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΄) ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7823  β„cr 7824   + caddc 7828   ≀ cle 8007  β„€cz 9267  β„€β‰₯cuz 9542  ...cfz 10022  seqcseq 10459  abscabs 11020   ⇝ cli 11300  Ξ£csu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
This theorem is referenced by:  eftlub  11712
  Copyright terms: Public domain W3C validator