ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iserabs GIF version

Theorem iserabs 11237
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iserabs.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
iserabs.2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
iserabs.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
iserabs.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iserabs.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
iserabs.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
iserabs (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iserabs
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iserabs.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 iserabs.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 iserabs.2 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4 zex 9056 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
5 uzssz 9338 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5ssexi 4061 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
71, 6eqeltri 2210 . . . . 5 𝑍 ∈ V
87mptex 5639 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V
98a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ∈ V)
10 iserabs.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
111, 2, 10serf 10240 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1211ffvelrnda 5548 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
13 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
1412abscld 10946 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℝ)
15 2fveq3 5419 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
16 eqid 2137 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))
1715, 16fvmptg 5490 . . . 4 ((𝑛𝑍 ∧ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
1813, 14, 17syl2anc 408 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
191, 3, 9, 2, 12, 18climabs 11082 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚))) ⇝ (abs‘𝐴))
20 iserabs.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ 𝐵)
2118, 14eqeltrd 2214 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ∈ ℝ)
22 iserabs.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
2310abscld 10946 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2422, 23eqeltrd 2214 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
251, 2, 24serfre 10241 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℝ)
2625ffvelrnda 5548 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛) ∈ ℝ)
272adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 eluzelz 9328 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
2928, 1eleq2s 2232 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
3029adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
3127, 30fzfigd 10197 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
32 elfzuz 9795 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3332, 1eleqtrrdi 2231 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘𝑍)
3433, 10sylan2 284 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3534adantlr 468 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3631, 35fsumabs 11227 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐹𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)))
37 eqidd 2138 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
381eleq2i 2204 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
3938biimpi 119 . . . . . . 7 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4039adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
411eleq2i 2204 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4241, 10sylan2br 286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4342adantlr 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4437, 40, 43fsum3ser 11159 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
4544fveq2d 5418 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐹𝑘)) = (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)))
4622adantlr 468 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
4741, 46sylan2br 286 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
4823adantlr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
4941, 48sylan2br 286 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5049recnd 7787 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
5147, 40, 50fsum3ser 11159 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)(abs‘(𝐹𝑘)) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
5236, 45, 513brtr3d 3954 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛)) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
5318, 52eqbrtrd 3945 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ (abs‘(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑚)))‘𝑛) ≤ (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑛))
541, 2, 19, 20, 21, 26, 53climle 11096 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2681   class class class wbr 3924  cmpt 3984  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  cr 7612   + caddc 7616  cle 7794  cz 9047  cuz 9319  ...cfz 9783  seqcseq 10211  abscabs 10762  cli 11040  Σcsu 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116
This theorem is referenced by:  eftlub  11381
  Copyright terms: Public domain W3C validator