Theorem fsumf1o 11331

Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1o.1	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
fsumf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
fsumf1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
fsumf1o.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
fsumf1o.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumf1o	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11329	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2		fsumf1o.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
3		f1oeq2 5422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴))
4	2, 3	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴))
5	4	imp 123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
6		f1ofo 5439	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
7		fo00 5468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
8	7	simprbi 273	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
9	5, 6, 8	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 = ∅)
10	9	sumeq1d 11307	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
12	11	sumeq1d 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷)
13		sum0 11329	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷 = 0
14	12, 13	eqtrdi 2215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = 0)
15	1, 10, 14	3eqtr4a 2225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
16	15	ex 114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
17		2fveq3 5491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
18		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
19		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)
20		f1of 5432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
21	2, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
22	21	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴)
23		fsumf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 5640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
25	24	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
26	22, 25	syldan 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
27	26	adantlr 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
28	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
29		f1oco 5455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴)
30	28, 19, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴)
31		f1of 5432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
33		fvco3 5557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
34	32, 33	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
35		f1of 5432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
36	35	ad2antll 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
37		fvco3 5557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓‘𝑛)))
38	36, 37	sylan 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓‘𝑛)))
39	38	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
40	34, 39	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
41	17, 18, 19, 27, 40	fsum3 11328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
42		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
43		fsumf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
44		fsumf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
45	21	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐴)
46	44, 45	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐴)
47	43	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
48	23	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
50	47, 49, 46	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
51	42, 43, 46, 50	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝐺) = 𝐷)
52	44	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝐺))
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ 𝐶)
54		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
55	54	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
56	53, 50, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
57	51, 52, 56	3eqtr4rd 2209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)))
58	57	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)))
59		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚)
60	59	nfeq1 2318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))
61		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚))
62		2fveq3 5491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
63	61, 62	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))))
64	60, 63	rspc 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐶 → (∀𝑛 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))))
65	58, 64	mpan9 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
66	65	adantlr 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
67	66	sumeq2dv 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
68		fveq2 5486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
69	24	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
70	69	ffvelrnda 5620	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
71	68, 18, 30, 70, 34	fsum3 11328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
72	41, 67, 71	3eqtr4rd 2209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚))
73		sumfct 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
74	48, 73	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
75	74	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
76	50	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 ∈ ℂ)
77		sumfct 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
78	76, 77	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
79	78	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
80	72, 75, 79	3eqtr3d 2206	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
81	80	expr 373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
82	81	exlimdv 1807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
83	82	expimpd 361	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
84		fsumf1o.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
85		fz1f1o 11316	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)))
86	84, 85	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)))
87	16, 83, 86	mpjaod 708	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∅c0 3409  ifcif 3520   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043   ∘ ccom 4608  ⟶wf 5184  –onto→wfo 5186  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ...cfz 9944  seqcseq 10380  ♯chash 10688  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fisumss  11333  fsum2dlemstep  11375  fsumcnv  11378  fsumrev  11384  fsumshft  11385  phisum  12172