Theorem fsumf1o 11282

Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumf1o.1	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
fsumf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
fsumf1o.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
fsumf1o.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
fsumf1o.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumf1o	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 11280	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2		fsumf1o.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
3		f1oeq2 5403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = ∅ → (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴))
4	2, 3	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴))
5	4	imp 123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐹:∅–1-1-onto→𝐴)
6		f1ofo 5420	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:∅–onto→𝐴)
7		fo00 5449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
8	7	simprbi 273	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:∅–onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
9	5, 6, 8	3syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐴 = ∅)
10	9	sumeq1d 11258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
12	11	sumeq1d 11258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷)
13		sum0 11280	. . . . 5 ⊢ Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷 = 0
14	12, 13	eqtrdi 2206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 = 0)
15	1, 10, 14	3eqtr4a 2216	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = ∅) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
16	15	ex 114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
17		2fveq3 5472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
18		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
19		simprr 522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)
20		f1of 5413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
21	2, 20	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐴)
22	21	ffvelrnda 5601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴)
23		fsumf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	fmpttd 5621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
25	24	ffvelrnda 5601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
26	22, 25	syldan 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
27	26	adantlr 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) ∈ ℂ)
28	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
29		f1oco 5436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴)
30	28, 19, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴)
31		f1of 5413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐴 → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
33		fvco3 5538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
34	32, 33	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
35		f1of 5413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
36	35	ad2antll 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
37		fvco3 5538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓‘𝑛)))
38	36, 37	sylan 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓‘𝑛)))
39	38	fveq2d 5471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
40	34, 39	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘(𝑓‘𝑛))))
41	17, 18, 19, 27, 40	fsum3 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
42		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
43		fsumf1o.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
44		fsumf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
45	21	ffvelrnda 5601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐴)
46	44, 45	eqeltrrd 2235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐴)
47	43	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
48	23	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
50	47, 49, 46	rspcdva 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
51	42, 43, 46, 50	fvmptd3 5560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝐺) = 𝐷)
52	44	fveq2d 5471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝐺))
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ 𝐶)
54		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
55	54	fvmpt2 5550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐶 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
56	53, 50, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
57	51, 52, 56	3eqtr4rd 2201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)))
58	57	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)))
59		nffvmpt1 5478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚)
60	59	nfeq1 2309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))
61		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚))
62		2fveq3 5472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
63	61, 62	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))))
64	60, 63	rspc 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐶 → (∀𝑛 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑛)) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚))))
65	58, 64	mpan9 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
66	65	adantlr 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐶) → ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
67	66	sumeq2dv 11260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝐹‘𝑚)))
68		fveq2 5467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑛)))
69	24	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
70	69	ffvelrnda 5601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
71	68, 18, 30, 70, 34	fsum3 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
72	41, 67, 71	3eqtr4rd 2201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚))
73		sumfct 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
74	48, 73	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
75	74	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
76	50	ralrimiva 2530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 ∈ ℂ)
77		sumfct 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐶 𝐷 ∈ ℂ → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
78	76, 77	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
79	78	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑚 ∈ 𝐶 ((𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
80	72, 75, 79	3eqtr3d 2198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)
81	80	expr 373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
82	81	exlimdv 1799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
83	82	expimpd 361	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷))
84		fsumf1o.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
85		fz1f1o 11267	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)))
86	84, 85	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto→𝐶)))
87	16, 83, 86	mpjaod 708	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑛 ∈ 𝐶 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ∅c0 3394  ifcif 3505   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025   ∘ ccom 4589  ⟶wf 5165  –onto→wfo 5167  –1-1-onto→wf1o 5168  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  Fincfn 6682  ℂcc 7725  0cc0 7727  1c1 7728   + caddc 7730   ≤ cle 7908  ℕcn 8828  ...cfz 9907  seqcseq 10339  ♯chash 10644  Σcsu 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7818  ax-resscn 7819  ax-1cn 7820  ax-1re 7821  ax-icn 7822  ax-addcl 7823  ax-addrcl 7824  ax-mulcl 7825  ax-mulrcl 7826  ax-addcom 7827  ax-mulcom 7828  ax-addass 7829  ax-mulass 7830  ax-distr 7831  ax-i2m1 7832  ax-0lt1 7833  ax-1rid 7834  ax-0id 7835  ax-rnegex 7836  ax-precex 7837  ax-cnre 7838  ax-pre-ltirr 7839  ax-pre-ltwlin 7840  ax-pre-lttrn 7841  ax-pre-apti 7842  ax-pre-ltadd 7843  ax-pre-mulgt0 7844  ax-pre-mulext 7845  ax-arch 7846  ax-caucvg 7847

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7909  df-mnf 7910  df-xr 7911  df-ltxr 7912  df-le 7913  df-sub 8043  df-neg 8044  df-reap 8445  df-ap 8452  df-div 8541  df-inn 8829  df-2 8887  df-3 8888  df-4 8889  df-n0 9086  df-z 9163  df-uz 9435  df-q 9524  df-rp 9556  df-fz 9908  df-fzo 10037  df-seqfrec 10340  df-exp 10414  df-ihash 10645  df-cj 10737  df-re 10738  df-im 10739  df-rsqrt 10893  df-abs 10894  df-clim 11171  df-sumdc 11246

This theorem is referenced by:  fisumss  11284  fsum2dlemstep  11326  fsumcnv  11329  fsumrev  11335  fsumshft  11336  phisum  12107