Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumf1o GIF version

Theorem fsumf1o 11152
 Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1o.2 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1o.3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1o.4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1o.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1o (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 11150 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
3 f1oeq2 5352 . . . . . . . 8 (𝐶 = ∅ → (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
42, 3syl5ibcom 154 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
54imp 123 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
6 f1ofo 5367 . . . . . 6 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴𝐹:∅–onto𝐴)
7 fo00 5396 . . . . . . 7 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
87simprbi 273 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto𝐴𝐴 = ∅)
95, 6, 83syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐴 = ∅)
109sumeq1d 11128 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
1211sumeq1d 11128 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷)
13 sum0 11150 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷 = 0
1412, 13syl6eq 2186 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = 0)
151, 10, 143eqtr4a 2196 . . 3 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
1615ex 114 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
17 2fveq3 5419 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
18 simprl 520 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
19 simprr 521 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)
20 f1of 5360 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
212, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
2221ffvelrnda 5548 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐶) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423fmpttd 5568 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2524ffvelrnda 5548 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2622, 25syldan 280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2726adantlr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
282adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
29 f1oco 5383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
3028, 19, 29syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
31 f1of 5360 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴 → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
33 fvco3 5485 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
3432, 33sylan 281 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
35 f1of 5360 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
3635ad2antll 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
37 fvco3 5485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3836, 37sylan 281 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3938fveq2d 5418 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
4034, 39eqtrd 2170 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
4117, 18, 19, 27, 40fsum3 11149 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
42 eqid 2137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
43 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4521ffvelrnda 5548 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
4644, 45eqeltrrd 2215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
4743eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4823ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4948adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5047, 49, 46rspcdva 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
5142, 43, 46, 50fvmptd3 5507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺) = 𝐷)
5244fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺))
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝑛𝐶)
54 eqid 2137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝐶𝐷) = (𝑛𝐶𝐷)
5554fvmpt2 5497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝐶𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
5653, 50, 55syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
5751, 52, 563eqtr4rd 2181 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
5857ralrimiva 2503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
59 nffvmpt1 5425 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚)
6059nfeq1 2289 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))
61 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
62 2fveq3 5419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6361, 62eqeq12d 2152 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) ↔ ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
6460, 63rspc 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐶 → (∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
6558, 64mpan9 279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6665adantlr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6766sumeq2dv 11130 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
68 fveq2 5414 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((𝐹𝑓)‘𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
6924adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
7069ffvelrnda 5548 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
7168, 18, 30, 70, 34fsum3 11149 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
7241, 67, 713eqtr4rd 2181 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
73 sumfct 11136 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7448, 73syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7574adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7650ralrimiva 2503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 𝐷 ∈ ℂ)
77 sumfct 11136 . . . . . . . 8 (∀𝑛𝐶 𝐷 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
7876, 77syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
7978adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
8072, 75, 793eqtr3d 2178 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
8180expr 372 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
8281exlimdv 1791 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
8382expimpd 360 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
84 fsumf1o.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
85 fz1f1o 11137 . . 3 (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
8684, 85syl 14 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
8716, 83, 86mpjaod 707 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∅c0 3358  ifcif 3469   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984   ∘ ccom 4538  ⟶wf 5114  –onto→wfo 5116  –1-1-onto→wf1o 5117  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  Fincfn 6627  ℂcc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616   ≤ cle 7794  ℕcn 8713  ...cfz 9783  seqcseq 10211  ♯chash 10514  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  fisumss  11154  fsum2dlemstep  11196  fsumcnv  11199  fsumrev  11205  fsumshft  11206
 Copyright terms: Public domain W3C validator