ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumf1o GIF version

Theorem fsumf1o 10746
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1o.2 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1o.3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1o.4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1o.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1o (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 10744 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
3 f1oeq2 5229 . . . . . . . 8 (𝐶 = ∅ → (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
42, 3syl5ibcom 153 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
54imp 122 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
6 f1ofo 5244 . . . . . 6 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴𝐹:∅–onto𝐴)
7 fo00 5273 . . . . . . 7 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
87simprbi 269 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto𝐴𝐴 = ∅)
95, 6, 83syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐴 = ∅)
109sumeq1d 10719 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
1211sumeq1d 10719 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷)
13 sum0 10744 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷 = 0
1412, 13syl6eq 2136 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = 0)
151, 10, 143eqtr4a 2146 . . 3 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
1615ex 113 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
17 2fveq3 5294 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
18 simprl 498 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
19 simprr 499 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)
20 f1of 5237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
212, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
2221ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐶) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423fmpttd 5437 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2524ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2622, 25syldan 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2726adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
282adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
29 f1oco 5260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
3028, 19, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
31 f1of 5237 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴 → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
33 fvco3 5359 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
3432, 33sylan 277 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
35 f1of 5237 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
3635ad2antll 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
37 fvco3 5359 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3836, 37sylan 277 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3938fveq2d 5293 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
4034, 39eqtrd 2120 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
4117, 18, 19, 27, 40fisum 10742 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛), 0)), ℂ)‘(♯‘𝐶)))
42 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4321ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
4442, 43eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
45 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
4645eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4723ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4847adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4946, 48, 44rspcdva 2727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
50 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
5145, 50fvmptg 5364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝐴𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺) = 𝐷)
5244, 49, 51syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺) = 𝐷)
5342fveq2d 5293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺))
54 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝑛𝐶)
55 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝐶𝐷) = (𝑛𝐶𝐷)
5655fvmpt2 5370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝐶𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
5754, 49, 56syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
5852, 53, 573eqtr4rd 2131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
5958ralrimiva 2446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
60 nffvmpt1 5300 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚)
6160nfeq1 2238 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))
62 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
63 2fveq3 5294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6462, 63eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) ↔ ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
6561, 64rspc 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐶 → (∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
6659, 65mpan9 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6766adantlr 461 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6867sumeq2dv 10721 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
69 fveq2 5289 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((𝐹𝑓)‘𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
7024adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
7170ffvelrnda 5418 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
7269, 18, 30, 71, 34fisum 10742 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛), 0)), ℂ)‘(♯‘𝐶)))
7341, 68, 723eqtr4rd 2131 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
74 sumfct 10727 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7547, 74syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7675adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7749ralrimiva 2446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 𝐷 ∈ ℂ)
78 sumfct 10727 . . . . . . . 8 (∀𝑛𝐶 𝐷 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
7977, 78syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
8079adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
8173, 76, 803eqtr3d 2128 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
8281expr 367 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
8382exlimdv 1747 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
8483expimpd 355 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
85 fsumf1o.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
86 fz1f1o 10728 . . 3 (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
8785, 86syl 14 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
8816, 84, 87mpjaod 673 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 664   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  wral 2359  c0 3284  ifcif 3389   class class class wbr 3837  cmpt 3891  ccom 4432  wf 4998  ontowfo 5000  1-1-ontowf1o 5001  cfv 5002  (class class class)co 5634  Fincfn 6437  cc 7327  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332  cle 7502  cn 8394  ...cfz 9393  seqcseq4 9816  chash 10148  Σcsu 10706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-frec 6138  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-er 6272  df-en 6438  df-dom 6439  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fzo 9519  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-ihash 10149  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-clim 10631  df-isum 10707
This theorem is referenced by:  fisumss  10748  fsum2dlemstep  10791  fsumcnv  10794  fsumrev  10800  fsumshft  10801
  Copyright terms: Public domain W3C validator