ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumf1o GIF version

Theorem fsumf1o 11391
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1o.2 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1o.3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1o.4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1o.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1o (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 11389 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
3 f1oeq2 5449 . . . . . . . 8 (𝐶 = ∅ → (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
42, 3syl5ibcom 155 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴))
54imp 124 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐹:∅–1-1-onto𝐴)
6 f1ofo 5467 . . . . . 6 (𝐹:∅–1-1-onto𝐴𝐹:∅–onto𝐴)
7 fo00 5496 . . . . . . 7 (𝐹:∅–onto𝐴 ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
87simprbi 275 . . . . . 6 (𝐹:∅–onto𝐴𝐴 = ∅)
95, 6, 83syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐴 = ∅)
109sumeq1d 11367 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
11 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = ∅) → 𝐶 = ∅)
1211sumeq1d 11367 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷)
13 sum0 11389 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ ∅ 𝐷 = 0
1412, 13eqtrdi 2226 . . . 4 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑛𝐶 𝐷 = 0)
151, 10, 143eqtr4a 2236 . . 3 ((𝜑𝐶 = ∅) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
1615ex 115 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
17 2fveq3 5519 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
18 simprl 529 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
19 simprr 531 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)
20 f1of 5460 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
212, 20syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
2221ffvelcdmda 5650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐶) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
23 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423fmpttd 5670 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
2524ffvelcdmda 5650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2622, 25syldan 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
2726adantlr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) ∈ ℂ)
282adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
29 f1oco 5483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
3028, 19, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴)
31 f1of 5460 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐴 → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴)
33 fvco3 5586 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑓):(1...(♯‘𝐶))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
3432, 33sylan 283 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
35 f1of 5460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
3635ad2antll 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶)
37 fvco3 5586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(♯‘𝐶))⟶𝐶𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝐹𝑓)‘𝑛) = (𝐹‘(𝑓𝑛)))
3938fveq2d 5518 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
4034, 39eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐶))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹‘(𝑓𝑛))))
4117, 18, 19, 27, 40fsum3 11388 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
42 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
43 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4521ffvelcdmda 5650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐴)
4644, 45eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐺𝐴)
4743eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐺 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
4823ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐶) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
5047, 49, 46rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
5142, 43, 46, 50fvmptd3 5608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺) = 𝐷)
5244fveq2d 5518 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝐺))
53 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐶) → 𝑛𝐶)
54 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝐶𝐷) = (𝑛𝐶𝐷)
5554fvmpt2 5598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝐶𝐷 ∈ ℂ) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
5653, 50, 55syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = 𝐷)
5751, 52, 563eqtr4rd 2221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
5857ralrimiva 2550 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)))
59 nffvmpt1 5525 . . . . . . . . . . . 12 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚)
6059nfeq1 2329 . . . . . . . . . . 11 𝑛((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))
61 fveq2 5514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
62 2fveq3 5519 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6361, 62eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) ↔ ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
6460, 63rspc 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐶 → (∀𝑛𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑛)) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚))))
6558, 64mpan9 281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6665adantlr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐶) → ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
6766sumeq2dv 11369 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝐹𝑚)))
68 fveq2 5514 . . . . . . . 8 (𝑚 = ((𝐹𝑓)‘𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘((𝐹𝑓)‘𝑛)))
6924adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
7069ffvelcdmda 5650 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
7168, 18, 30, 70, 34fsum3 11388 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ (♯‘𝐶), (((𝑘𝐴𝐵) ∘ (𝐹𝑓))‘𝑛), 0)))‘(♯‘𝐶)))
7241, 67, 713eqtr4rd 2221 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚))
73 sumfct 11375 . . . . . . . 8 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7448, 73syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7574adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
7650ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑛𝐶 𝐷 ∈ ℂ)
77 sumfct 11375 . . . . . . . 8 (∀𝑛𝐶 𝐷 ∈ ℂ → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
7876, 77syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
7978adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑚𝐶 ((𝑛𝐶𝐷)‘𝑚) = Σ𝑛𝐶 𝐷)
8072, 75, 793eqtr3d 2218 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
8180expr 375 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
8281exlimdv 1819 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
8382expimpd 363 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷))
84 fsumf1o.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
85 fz1f1o 11376 . . 3 (𝐶 ∈ Fin → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
8684, 85syl 14 . 2 (𝜑 → (𝐶 = ∅ ∨ ((♯‘𝐶) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐶))–1-1-onto𝐶)))
8716, 83, 86mpjaod 718 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  c0 3422  ifcif 3534   class class class wbr 4002  cmpt 4063  ccom 4629  wf 5211  ontowfo 5213  1-1-ontowf1o 5214  cfv 5215  (class class class)co 5872  Fincfn 6737  cc 7806  0cc0 7808  1c1 7809   + caddc 7811  cle 7989  cn 8915  ...cfz 10004  seqcseq 10440  chash 10748  Σcsu 11354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-isom 5224  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-frec 6389  df-1o 6414  df-oadd 6418  df-er 6532  df-en 6738  df-dom 6739  df-fin 6740  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-fz 10005  df-fzo 10138  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-ihash 10749  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-clim 11280  df-sumdc 11355
This theorem is referenced by:  fisumss  11393  fsum2dlemstep  11435  fsumcnv  11438  fsumrev  11444  fsumshft  11445  phisum  12232
  Copyright terms: Public domain W3C validator