ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  alginv GIF version

Theorem alginv 11655
Description: If 𝐼 is an invariant of 𝐹, then its value is unchanged after any number of iterations of 𝐹. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
alginv.1 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
alginv.2 𝐹:𝑆𝑆
alginv.3 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
Assertion
Ref Expression
alginv ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem alginv
Dummy variables 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 5394 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
21eqeq1d 2126 . . . 4 (𝑧 = 0 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
32imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = 0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
4 2fveq3 5394 . . . . 5 (𝑧 = 𝑘 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
54eqeq1d 2126 . . . 4 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
65imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
7 2fveq3 5394 . . . . 5 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
87eqeq1d 2126 . . . 4 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
98imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
10 2fveq3 5394 . . . . 5 (𝑧 = 𝐾 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅𝐾)))
1110eqeq1d 2126 . . . 4 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
1211imbi2d 229 . . 3 (𝑧 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑧)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
13 eqidd 2118 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘0)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
14 nn0uz 9328 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
15 alginv.1 . . . . . . . . . 10 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
16 0zd 9034 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
17 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
18 alginv.2 . . . . . . . . . . 11 𝐹:𝑆𝑆
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
2014, 15, 16, 17, 19algrp1 11654 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
2120fveq2d 5393 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
2214, 15, 16, 17, 19algrf 11653 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
2322ffvelrnda 5523 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
24 2fveq3 5394 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
25 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑅𝑘) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
2624, 25eqeq12d 2132 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑅𝑘) → ((𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥) ↔ (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘))))
27 alginv.3 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 → (𝐼‘(𝐹𝑥)) = (𝐼𝑥))
2826, 27vtoclga 2726 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
2923, 28syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3021, 29eqtrd 2150 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅𝑘)))
3130eqeq1d 2126 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)) ↔ (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3231biimprd 157 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3332expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → ((𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0)) → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
3433a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝑘)) = (𝐼‘(𝑅‘0))) → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐼‘(𝑅‘0)))))
353, 6, 9, 12, 13, 34nn0ind 9133 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑆 → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0))))
3635impcom 124 1 ((𝐴𝑆𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼‘(𝑅𝐾)) = (𝐼‘(𝑅‘0)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  {csn 3497   × cxp 4507  ccom 4513  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  1st c1st 6004  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591  0cn0 8945  seqcseq 10186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-seqfrec 10187
This theorem is referenced by:  eucalg  11667
  Copyright terms: Public domain W3C validator