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Theorem algcvga 11739
 Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
algcvga.1 𝐹:𝑆𝑆
algcvga.2 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
algcvga.5 𝑁 = (𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
algcvga (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem algcvga
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algcvga.5 . . 3 𝑁 = (𝐶𝐴)
2 algcvga.3 . . . 4 𝐶:𝑆⟶ℕ0
32ffvelrni 5554 . . 3 (𝐴𝑆 → (𝐶𝐴) ∈ ℕ0)
41, 3eqeltrid 2226 . 2 (𝐴𝑆𝑁 ∈ ℕ0)
5 nn0z 9081 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 eluz1 9337 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾)))
7 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑁)))
87eqeq1d 2148 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
98imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)))
10 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
1110eqeq1d 2148 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0))
1211imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0)))
13 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
1413eqeq1d 2148 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
1514imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
16 2fveq3 5426 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = (𝐶‘(𝑅𝐾)))
1716eqeq1d 2148 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
1817imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑚)) = 0) ↔ (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
19 algcvga.1 . . . . . . . . 9 𝐹:𝑆𝑆
20 algcvga.2 . . . . . . . . 9 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
21 algcvga.4 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)))
2219, 20, 2, 21, 1algcvg 11736 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0)
2322a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑁)) = 0))
24 nn0ge0 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
26 nn0re 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
27 zre 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
28 0re 7773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
29 letr 7854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3028, 29mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3126, 27, 30syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
3225, 31mpand 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
33 elnn0z 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
3433simplbi2 382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
3534adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
3632, 35syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
374, 36sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘𝑘 ∈ ℕ0))
3837impr 376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3938expcom 115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
40393adant1 999 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0))
4140ancld 323 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → (𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0)))
42 nn0uz 9367 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
43 0zd 9073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → 0 ∈ ℤ)
44 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐴𝑆)
4519a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆𝐹:𝑆𝑆)
4642, 20, 43, 44, 45algrf 11733 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆𝑅:ℕ0𝑆)
4746ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ 𝑆)
48 2fveq3 5426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶‘(𝐹𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))))
4948neeq1d 2326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0))
50 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (𝐶𝑧) = (𝐶‘(𝑅𝑘)))
5148, 50breq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑅𝑘) → ((𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
5249, 51imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑅𝑘) → (((𝐶‘(𝐹𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹𝑧)) < (𝐶𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘)))))
5352, 21vtoclga 2752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))))
5419, 2algcvgb 11738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))))
55 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶‘(𝑅𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
5654, 55syl6bi 162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) < (𝐶‘(𝑅𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0)))
5753, 56mpd 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
5847, 57syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
5942, 20, 43, 44, 45algrp1 11734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝑘)))
6059fveqeq2d 5429 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅𝑘))) = 0))
6158, 60sylibrd 168 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
6241, 61syl6 33 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → (𝐴𝑆 → ((𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
6362a2d 26 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑘) → ((𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝑘)) = 0) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
649, 12, 15, 18, 23, 63uzind 9169 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
65643expib 1184 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝐾) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
666, 65sylbid 149 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
675, 66syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐴𝑆 → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
6867com3r 79 . 2 (𝐴𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0)))
694, 68mpd 13 1 (𝐴𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → (𝐶‘(𝑅𝐾)) = 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  {csn 3527   class class class wbr 3929   × cxp 4537   ∘ ccom 4543  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  1st c1st 6036  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   < clt 7807   ≤ cle 7808  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  seqcseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  algfx  11740  eucalgcvga  11746
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