Theorem algcvga 12219

Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvga.2	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
algcvga.5	⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
algcvga	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem algcvga

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
2		algcvga.3	. . . 4 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
3	2	ffvelcdmi 5696	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	1, 3	eqeltrid 2283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0z 9346	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz1 9605	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
7		2fveq3 5563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑁)))
8	7	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
9	8	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)))
10		2fveq3 5563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
11	10	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
12	11	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0)))
13		2fveq3 5563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
14	13	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
15	14	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
16		2fveq3 5563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝐾)))
17	16	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
18	17	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
19		algcvga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
20		algcvga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
21		algcvga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
22	19, 20, 2, 21, 1	algcvg 12216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)
23	22	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
24		nn0ge0 9274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
26		nn0re 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27		zre 9330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
28		0re 8026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		letr 8109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
30	28, 29	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
31	26, 27, 30	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
32	25, 31	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
33		elnn0z 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
36	32, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
37	4, 36	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
38	37	impr 379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	38	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
40	39	3adant1 1017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
41	40	ancld 325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
42		nn0uz 9636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
43		0zd 9338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
44		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
45	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
46	42, 20, 43, 44, 45	algrf 12213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
47	46	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
48		2fveq3 5563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
49	48	neeq1d 2385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0))
50		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘𝑧) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
51	48, 50	breq12d 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
52	49, 51	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))))
53	52, 21	vtoclga 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
54	19, 2	algcvgb 12218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))))
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
56	54, 55	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)))
57	53, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
58	47, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
59	42, 20, 43, 44, 45	algrp1 12214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
60	59	fveqeq2d 5566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
61	58, 60	sylibrd 169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
62	41, 61	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
63	62	a2d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
64	9, 12, 15, 18, 23, 63	uzind 9437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
65	64	3expib 1208	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
66	6, 65	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
67	5, 66	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
68	67	com3r 79	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
69	4, 68	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  {csn 3622   class class class wbr 4033   × cxp 4661   ∘ ccom 4667  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1^st c1st 6196  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  algfx  12220  eucalgcvga  12226