Theorem algcvga 12756

Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvga.2	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
algcvga.5	⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
algcvga	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem algcvga

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
2		algcvga.3	. . . 4 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
3	2	ffvelcdmi 5813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	1, 3	eqeltrid 2321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0z 9602	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz1 9863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
7		2fveq3 5677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑁)))
8	7	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
9	8	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)))
10		2fveq3 5677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
11	10	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
12	11	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0)))
13		2fveq3 5677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
14	13	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
15	14	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
16		2fveq3 5677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝐾)))
17	16	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
18	17	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
19		algcvga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
20		algcvga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
21		algcvga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
22	19, 20, 2, 21, 1	algcvg 12753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)
23	22	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
24		nn0ge0 9526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
26		nn0re 9510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
27		zre 9586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
28		0re 8279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
29		letr 8361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
30	28, 29	mp3an1 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
31	26, 27, 30	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
32	25, 31	mpand 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
33		elnn0z 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
36	32, 35	syld 45	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
37	4, 36	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
38	37	impr 379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	38	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
40	39	3adant1 1042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
41	40	ancld 325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
42		nn0uz 9895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
43		0zd 9594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
44		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
45	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
46	42, 20, 43, 44, 45	algrf 12750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
47	46	ffvelcdmda 5814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
48		2fveq3 5677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
49	48	neeq1d 2432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0))
50		fveq2 5672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘𝑧) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
51	48, 50	breq12d 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
52	49, 51	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))))
53	52, 21	vtoclga 2883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
54	19, 2	algcvgb 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))))
55		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
56	54, 55	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)))
57	53, 56	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
58	47, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
59	42, 20, 43, 44, 45	algrp1 12751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
60	59	fveqeq2d 5680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
61	58, 60	sylibrd 169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
62	41, 61	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
63	62	a2d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
64	9, 12, 15, 18, 23, 63	uzind 9695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
65	64	3expib 1233	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
66	6, 65	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
67	5, 66	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
68	67	com3r 79	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
69	4, 68	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  {csn 3691   class class class wbr 4111   × cxp 4749   ∘ ccom 4755  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  1^st c1st 6334  ℝcr 8131  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   < clt 8313   ≤ cle 8314  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582  ℤ_≥cuz 9859  seqcseq 10816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-seqfrec 10817

This theorem is referenced by:  algfx  12757  eucalgcvga  12763