Theorem dedekindeulemub 15642

Description: Lemma for dedekindeu 15647. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐿,𝑟,𝑦   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
2		eleq1w 2299	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
3	2	cbvrexv 2787	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simprl 535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6		dedekindeu.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐿 ⊆ ℝ)
8		dedekindeu.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
10		dedekindeu.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
12	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
13		dedekindeu.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15		dedekindeu.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
17		dedekindeu.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
19		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
21		simprr 537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 21	dedekindeulemuub 15641	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎)
23		brralrspcev 4184	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
24	5, 22, 23	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
25	4, 24	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4125  ℝcr 8168   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltwlin 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  15644