Theorem dedekindeulemub 13236

Description: Lemma for dedekindeu 13241. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐿,𝑟,𝑦   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
2		eleq1w 2227	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
3	2	cbvrexv 2693	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
4	1, 3	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simprl 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6		dedekindeu.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐿 ⊆ ℝ)
8		dedekindeu.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
9	8	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
10		dedekindeu.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
12	1	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
13		dedekindeu.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
14	13	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15		dedekindeu.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	15	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
17		dedekindeu.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
18	17	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
19		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
20	19	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
21		simprr 522	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 21	dedekindeulemuub 13235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎)
23		brralrspcev 4040	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
24	5, 22, 23	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
25	4, 24	rexlimddv 2588	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409   class class class wbr 3982  ℝcr 7752   < clt 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltwlin 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  13238