Theorem dedekindeulemub 14772

Description: Lemma for dedekindeu 14777. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐿,𝑟,𝑦   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
2		eleq1w 2254	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
3	2	cbvrexv 2727	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6		dedekindeu.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐿 ⊆ ℝ)
8		dedekindeu.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
10		dedekindeu.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
12	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
13		dedekindeu.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15		dedekindeu.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
17		dedekindeu.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
19		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
21		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 21	dedekindeulemuub 14771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎)
23		brralrspcev 4087	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
24	5, 22, 23	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
25	4, 24	rexlimddv 2616	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  ℝcr 7871   < clt 8054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltwlin 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  14774