ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dedekindeulemub GIF version

Theorem dedekindeulemub 12795
Description: Lemma for dedekindeu 12800. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
dedekindeu.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
dedekindeu.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dedekindeulemub (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐿,𝑟,𝑦   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemub
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.um . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
2 eleq1w 2201 . . . 4 (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑈𝑎𝑈))
32cbvrexv 2656 . . 3 (∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎𝑈)
41, 3sylib 121 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎𝑈)
5 simprl 521 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6 dedekindeu.lss . . . . 5 (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
76adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → 𝐿 ⊆ ℝ)
8 dedekindeu.uss . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
98adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
10 dedekindeu.lm . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
1110adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
121adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
13 dedekindeu.lr . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
1413adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
15 dedekindeu.ur . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
1615adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
17 dedekindeu.disj . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
1817adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → (𝐿𝑈) = ∅)
19 dedekindeu.loc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
2019adantr 274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
21 simprr 522 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → 𝑎𝑈)
227, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 21dedekindeulemuub 12794 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑎)
23 brralrspcev 3990 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
245, 22, 23syl2anc 409 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎𝑈)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
254, 24rexlimddv 2555 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐿 𝑦 < 𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  cin 3071  wss 3072  c0 3364   class class class wbr 3933  cr 7639   < clt 7820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-pre-ltwlin 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-xp 4549  df-cnv 4551  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826
This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  12797
  Copyright terms: Public domain W3C validator