Theorem dedekindeulemub 15429

Description: Lemma for dedekindeu 15434. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐿,𝑟,𝑦   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
2		eleq1w 2292	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
3	2	cbvrexv 2769	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6		dedekindeu.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐿 ⊆ ℝ)
8		dedekindeu.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
10		dedekindeu.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
12	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
13		dedekindeu.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15		dedekindeu.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
17		dedekindeu.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
19		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
21		simprr 533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 21	dedekindeulemuub 15428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎)
23		brralrspcev 4152	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
24	5, 22, 23	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
25	4, 24	rexlimddv 2656	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496   class class class wbr 4093  ℝcr 8091   < clt 8273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltwlin 8205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  15431