Theorem dedekindeulemub 15205

Description: Lemma for dedekindeu 15210. The lower cut has an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeulemub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑦   𝑥,𝐿,𝑟,𝑦   𝑈,𝑞,𝑟,𝑦   𝜑,𝑞,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem dedekindeulemub

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
2		eleq1w 2268	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
3	2	cbvrexv 2743	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ∈ 𝑈)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ ℝ)
6		dedekindeu.lss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝐿 ⊆ ℝ)
8		dedekindeu.uss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
10		dedekindeu.lm	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
12	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
13		dedekindeu.lr	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15		dedekindeu.ur	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
17		dedekindeu.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
19		dedekindeu.loc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
20	19	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
21		simprr 531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 20, 21	dedekindeulemuub 15204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎)
23		brralrspcev 4118	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
24	5, 22, 23	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)
25	4, 24	rexlimddv 2630	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐿 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468   class class class wbr 4059  ℝcr 7959   < clt 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltwlin 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  dedekindeulemlub  15207