Theorem eleq1w 2265

Description: Weaker version of eleq1 2267 (but more general than elequ1 2179) not depending on ax-ext 2186 nor df-cleq 2197. (Contributed by BJ, 24-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eleq1w	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem eleq1w

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equequ2 1735	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 = 𝑥 ↔ 𝑧 = 𝑦))
2	1	anbi1d 465	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
3	2	exbidv 1847	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑧(𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
4		df-clel 2200	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
5		df-clel 2200	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑧 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1469  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-clel 2200

This theorem is referenced by:  clelsb1f  2351  cbvralfw  2727  cbvrexfw  2728  cbvralvw  2741  cbvrexvw  2742  cbvreuvw  2743  dfdif3  3282  dfss4st  3405  abn0m  3485  r19.2m  3546  cbvmptf  4137  iinexgm  4197  xpiindim  4814  cnviinm  5223  iotam  5262  elfvm  5608  uchoice  6222  iinerm  6693  ixpiinm  6810  ixpsnf1o  6822  mapsnen  6902  pw2f1odclem  6930  enumctlemm  7215  nnnninfeq  7229  exmidomni  7243  fodjum  7247  finacn  7315  exmidontriimlem4  7335  exmidontriim  7336  cc2  7378  suplocexprlemmu  7830  suplocsr  7921  axpre-suploc  8014  suprzubdc  10377  nninfdcex  10378  zsupssdc  10379  iseqf1olemqk  10650  seq3f1olemqsum  10656  summodclem2  11664  summodc  11665  zsumdc  11666  fsum3  11669  isumz  11671  isumss  11673  fisumss  11674  isumss2  11675  fsum3cvg2  11676  fsumsersdc  11677  fsum3ser  11679  fsumsplit  11689  fsumsplitf  11690  isumlessdc  11778  prodfdivap  11829  cbvprod  11840  prodrbdclem  11853  prodmodclem2  11859  prodmodc  11860  zproddc  11861  fprodseq  11865  fprodntrivap  11866  prod1dc  11868  prodssdc  11871  fprodsplitdc  11878  fprod2dlemstep  11904  fproddivapf  11913  fprodsplitf  11914  nnmindc  12326  nnminle  12327  nninfctlemfo  12332  pcmptdvds  12639  nninfdclemp1  12792  ismnd  13222  sgrpidmndm  13223  dfgrp3me  13403  issubg2m  13496  subrgintm  13976  islssm  14090  islidlm  14212  neipsm  14597  dedekindeulemub  15061  dedekindeulemloc  15062  dedekindeulemlub  15063  suplociccex  15068  dedekindicclemub  15070  dedekindicclemloc  15071  dedekindicclemlub  15072  limcimo  15108  dvmptfsum  15168  elply2  15178  lgsval  15452  lgsdir  15483  lgsdilem2  15484  lgsdi  15485  lgsne0  15486  lgsquadlem3  15527  lgsquad  15528  2sqlem8  15571  bj-charfunbi  15709