Theorem eluniimadm 5727

Description: Membership in the union of an image of a function. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eluniimadm	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ∪ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem eluniimadm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funiunfvdm 5725	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = ∪ (𝐹 “ 𝐴))
2	1	eleq2d 2234	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ∪ (𝐹 “ 𝐴)))
3		eliun 3864	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝐹‘𝑥))
4	2, 3	bitr3di 194	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ∪ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 2135  ∃wrex 2443  ∪ cuni 3783  ∪ ciun 3860   “ cima 4601   Fn wfn 5177  ‘cfv 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-fv 5190

This theorem is referenced by:  suplocexprlemell  7645