Theorem eliun 3933

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	rexlimivw 2620	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2269	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
5	4	rexbidv 2508	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
6		df-iun 3931	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶}
7	5, 6	elab2g 2921	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
8	1, 3, 7	pm5.21nii 706	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486  Vcvv 2773  ∪ ciun 3929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-iun 3931

This theorem is referenced by:  iuncom  3935  iuncom4  3936  iunconstm  3937  iuniin  3939  iunss1  3940  ss2iun  3944  dfiun2g  3961  ssiun  3971  ssiun2  3972  iunab  3976  iun0  3986  0iun  3987  iunn0m  3990  iunin2  3993  iundif2ss  3995  iindif2m  3997  iunxsng  4005  iunxsngf  4007  iunun  4008  iunxun  4009  iunxiun  4011  iunpwss  4021  disjiun  4042  triun  4159  iunpw  4531  xpiundi  4737  xpiundir  4738  iunxpf  4830  cnvuni  4868  dmiun  4892  dmuni  4893  rniun  5098  dfco2  5187  dfco2a  5188  coiun  5197  fun11iun  5550  imaiun  5836  eluniimadm  5841  opabex3d  6213  opabex3  6214  smoiun  6394  tfrlemi14d  6426  tfr1onlemres  6442  tfrcllemres  6455  wrdval  11004  fsum2dlemstep  11789  fisumcom2  11793  fsumiun  11832  fprod2dlemstep  11977  fprodcom2fi  11981  ennnfonelemrn  12834  ennnfonelemdm  12835  ctiunctlemf  12853  ctiunctlemfo  12854  imasaddfnlemg  13190  lssats2  14220