Theorem eliun 3917

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2771	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	rexlimivw 2607	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2256	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
5	4	rexbidv 2495	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
6		df-iun 3915	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶}
7	5, 6	elab2g 2908	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
8	1, 3, 7	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  Vcvv 2760  ∪ ciun 3913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-iun 3915

This theorem is referenced by:  iuncom  3919  iuncom4  3920  iunconstm  3921  iuniin  3923  iunss1  3924  ss2iun  3928  dfiun2g  3945  ssiun  3955  ssiun2  3956  iunab  3960  iun0  3970  0iun  3971  iunn0m  3974  iunin2  3977  iundif2ss  3979  iindif2m  3981  iunxsng  3989  iunxsngf  3991  iunun  3992  iunxun  3993  iunxiun  3995  iunpwss  4005  disjiun  4025  triun  4141  iunpw  4512  xpiundi  4718  xpiundir  4719  iunxpf  4811  cnvuni  4849  dmiun  4872  dmuni  4873  rniun  5077  dfco2  5166  dfco2a  5167  coiun  5176  fun11iun  5522  imaiun  5804  eluniimadm  5809  opabex3d  6175  opabex3  6176  smoiun  6356  tfrlemi14d  6388  tfr1onlemres  6404  tfrcllemres  6417  wrdval  10920  fsum2dlemstep  11580  fisumcom2  11584  fsumiun  11623  fprod2dlemstep  11768  fprodcom2fi  11772  ennnfonelemrn  12579  ennnfonelemdm  12580  ctiunctlemf  12598  ctiunctlemfo  12599  imasaddfnlemg  12900  lssats2  13913