Theorem eliun 3921

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	rexlimivw 2610	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2259	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
5	4	rexbidv 2498	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
6		df-iun 3919	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶}
7	5, 6	elab2g 2911	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
8	1, 3, 7	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  Vcvv 2763  ∪ ciun 3917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-iun 3919

This theorem is referenced by:  iuncom  3923  iuncom4  3924  iunconstm  3925  iuniin  3927  iunss1  3928  ss2iun  3932  dfiun2g  3949  ssiun  3959  ssiun2  3960  iunab  3964  iun0  3974  0iun  3975  iunn0m  3978  iunin2  3981  iundif2ss  3983  iindif2m  3985  iunxsng  3993  iunxsngf  3995  iunun  3996  iunxun  3997  iunxiun  3999  iunpwss  4009  disjiun  4029  triun  4145  iunpw  4516  xpiundi  4722  xpiundir  4723  iunxpf  4815  cnvuni  4853  dmiun  4876  dmuni  4877  rniun  5081  dfco2  5170  dfco2a  5171  coiun  5180  fun11iun  5528  imaiun  5810  eluniimadm  5815  opabex3d  6187  opabex3  6188  smoiun  6368  tfrlemi14d  6400  tfr1onlemres  6416  tfrcllemres  6429  wrdval  10955  fsum2dlemstep  11616  fisumcom2  11620  fsumiun  11659  fprod2dlemstep  11804  fprodcom2fi  11808  ennnfonelemrn  12661  ennnfonelemdm  12662  ctiunctlemf  12680  ctiunctlemfo  12681  imasaddfnlemg  13016  lssats2  14046