Theorem eliun 4014

Description: Membership in indexed union. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
eliun	⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem eliun

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
3	2	rexlimivw 2664	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
4		eleq1 2301	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐶))
5	4	rexbidv 2551	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
6		df-iun 4012	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ 𝐶}
7	5, 6	elab2g 2973	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶))
8	1, 3, 7	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821  ∪ ciun 4010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-iun 4012

This theorem is referenced by:  iuncom  4016  iuncom4  4017  iunconstm  4018  iuniin  4020  iunss1  4021  ss2iun  4025  dfiun2g  4042  ssiun  4052  ssiun2  4053  iunab  4057  iun0  4067  0iun  4068  iunn0m  4071  iunin2  4074  iundif2ss  4076  iindif2m  4078  iunxsng  4086  iunxsngf  4088  iunun  4089  iunxun  4090  iunxiun  4092  iunpwss  4102  disjiun  4123  triun  4240  iunpw  4624  xpiundi  4831  xpiundir  4832  iunxpf  4926  cnvuni  4964  dmiun  4988  dmuni  4989  rniun  5196  dfco2  5285  dfco2a  5286  coiun  5295  fun11iun  5658  imaiun  5960  eluniimadm  5965  opabex3d  6344  opabex3  6345  smoiun  6566  tfrlemi14d  6598  tfr1onlemres  6614  tfrcllemres  6627  wrdval  11290  fsum2dlemstep  12184  fisumcom2  12188  fsumiun  12227  fprod2dlemstep  12372  fprodcom2fi  12376  ennnfonelemrn  13293  ennnfonelemdm  13294  ctiunctlemf  13312  ctiunctlemfo  13313  imasaddfnlemg  13618  lssats2  14734  clwwlknun  16665