Theorem gtneii 8411

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8952 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4125  ℝcr 8168   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  ltneii  8412  ine0  8711  fztpval  10468  ene1  12530  3lcm2e6  12916  ballotfilemi1  13223  starvndxnbasendx  13473  starvndxnplusgndx  13474  starvndxnmulrndx  13475  scandxnbasendx  13485  scandxnplusgndx  13486  scandxnmulrndx  13487  vscandxnbasendx  13490  vscandxnplusgndx  13491  vscandxnmulrndx  13492  vscandxnscandx  13493  ipndxnbasendx  13503  ipndxnplusgndx  13504  ipndxnmulrndx  13505  tsetndxnbasendx  13522  tsetndxnplusgndx  13523  tsetndxnmulrndx  13524  tsetndxnstarvndx  13525  slotstnscsi  13526  plendxnbasendx  13536  plendxnplusgndx  13537  plendxnmulrndx  13538  plendxnscandx  13539  plendxnvscandx  13540  dsndxnbasendx  13551  dsndxnplusgndx  13552  dsndxnmulrndx  13553  slotsdnscsi  13554  dsndxntsetndx  13555  unifndxnbasendx  13561  unifndxntsetndx  13562  setsmsdsg  15504  2logb9irr  15996  2logb3irr  15998  2logb9irrap  16002  konigsberglem2  16644