Theorem gtneii 8141

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8680 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   < clt 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltirr 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-ltxr 8085

This theorem is referenced by:  ltneii  8142  ine0  8439  fztpval  10177  ene1  11969  3lcm2e6  12355  starvndxnbasendx  12846  starvndxnplusgndx  12847  starvndxnmulrndx  12848  scandxnbasendx  12858  scandxnplusgndx  12859  scandxnmulrndx  12860  vscandxnbasendx  12863  vscandxnplusgndx  12864  vscandxnmulrndx  12865  vscandxnscandx  12866  ipndxnbasendx  12876  ipndxnplusgndx  12877  ipndxnmulrndx  12878  tsetndxnbasendx  12895  tsetndxnplusgndx  12896  tsetndxnmulrndx  12897  tsetndxnstarvndx  12898  slotstnscsi  12899  plendxnbasendx  12909  plendxnplusgndx  12910  plendxnmulrndx  12911  plendxnscandx  12912  plendxnvscandx  12913  dsndxnbasendx  12924  dsndxnplusgndx  12925  dsndxnmulrndx  12926  slotsdnscsi  12927  dsndxntsetndx  12928  unifndxnbasendx  12934  unifndxntsetndx  12935  setsmsdsg  14824  2logb9irr  15315  2logb3irr  15317  2logb9irrap  15321