Theorem gtneii 8183

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8722 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4050  ℝcr 7939   < clt 8122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-pre-ltirr 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-xp 4688  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127

This theorem is referenced by:  ltneii  8184  ine0  8481  fztpval  10220  ene1  12166  3lcm2e6  12552  starvndxnbasendx  13044  starvndxnplusgndx  13045  starvndxnmulrndx  13046  scandxnbasendx  13056  scandxnplusgndx  13057  scandxnmulrndx  13058  vscandxnbasendx  13061  vscandxnplusgndx  13062  vscandxnmulrndx  13063  vscandxnscandx  13064  ipndxnbasendx  13074  ipndxnplusgndx  13075  ipndxnmulrndx  13076  tsetndxnbasendx  13093  tsetndxnplusgndx  13094  tsetndxnmulrndx  13095  tsetndxnstarvndx  13096  slotstnscsi  13097  plendxnbasendx  13107  plendxnplusgndx  13108  plendxnmulrndx  13109  plendxnscandx  13110  plendxnvscandx  13111  dsndxnbasendx  13122  dsndxnplusgndx  13123  dsndxnmulrndx  13124  slotsdnscsi  13125  dsndxntsetndx  13126  unifndxnbasendx  13132  unifndxntsetndx  13133  setsmsdsg  15022  2logb9irr  15513  2logb3irr  15515  2logb9irrap  15519