Theorem gtneii 8253

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8792 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  ℝcr 8009   < clt 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltirr 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197

This theorem is referenced by:  ltneii  8254  ine0  8551  fztpval  10291  ene1  12311  3lcm2e6  12697  starvndxnbasendx  13190  starvndxnplusgndx  13191  starvndxnmulrndx  13192  scandxnbasendx  13202  scandxnplusgndx  13203  scandxnmulrndx  13204  vscandxnbasendx  13207  vscandxnplusgndx  13208  vscandxnmulrndx  13209  vscandxnscandx  13210  ipndxnbasendx  13220  ipndxnplusgndx  13221  ipndxnmulrndx  13222  tsetndxnbasendx  13239  tsetndxnplusgndx  13240  tsetndxnmulrndx  13241  tsetndxnstarvndx  13242  slotstnscsi  13243  plendxnbasendx  13253  plendxnplusgndx  13254  plendxnmulrndx  13255  plendxnscandx  13256  plendxnvscandx  13257  dsndxnbasendx  13268  dsndxnplusgndx  13269  dsndxnmulrndx  13270  slotsdnscsi  13271  dsndxntsetndx  13272  unifndxnbasendx  13278  unifndxntsetndx  13279  setsmsdsg  15169  2logb9irr  15660  2logb3irr  15662  2logb9irrap  15666