Theorem gtneii 8428

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8970 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  ltneii  8429  ine0  8728  fztpval  10506  ene1  12576  3lcm2e6  12963  ballotfilemi1  13302  starvndxnbasendx  13554  starvndxnplusgndx  13555  starvndxnmulrndx  13556  scandxnbasendx  13566  scandxnplusgndx  13567  scandxnmulrndx  13568  vscandxnbasendx  13571  vscandxnplusgndx  13572  vscandxnmulrndx  13573  vscandxnscandx  13574  ipndxnbasendx  13584  ipndxnplusgndx  13585  ipndxnmulrndx  13586  tsetndxnbasendx  13603  tsetndxnplusgndx  13604  tsetndxnmulrndx  13605  tsetndxnstarvndx  13606  slotstnscsi  13607  plendxnbasendx  13617  plendxnplusgndx  13618  plendxnmulrndx  13619  plendxnscandx  13620  plendxnvscandx  13621  dsndxnbasendx  13632  dsndxnplusgndx  13633  dsndxnmulrndx  13634  slotsdnscsi  13635  dsndxntsetndx  13636  unifndxnbasendx  13642  unifndxntsetndx  13643  setsmsdsg  15723  2logb9irr  16224  2logb3irr  16226  2logb9irrap  16230  konigsberglem2  16952