Theorem gtneii 8386

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8927 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4115  ℝcr 8143   < clt 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-pre-ltirr 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-xp 4761  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-ltxr 8330

This theorem is referenced by:  ltneii  8387  ine0  8686  fztpval  10443  ene1  12501  3lcm2e6  12887  ballotfilemi1  13194  starvndxnbasendx  13444  starvndxnplusgndx  13445  starvndxnmulrndx  13446  scandxnbasendx  13456  scandxnplusgndx  13457  scandxnmulrndx  13458  vscandxnbasendx  13461  vscandxnplusgndx  13462  vscandxnmulrndx  13463  vscandxnscandx  13464  ipndxnbasendx  13474  ipndxnplusgndx  13475  ipndxnmulrndx  13476  tsetndxnbasendx  13493  tsetndxnplusgndx  13494  tsetndxnmulrndx  13495  tsetndxnstarvndx  13496  slotstnscsi  13497  plendxnbasendx  13507  plendxnplusgndx  13508  plendxnmulrndx  13509  plendxnscandx  13510  plendxnvscandx  13511  dsndxnbasendx  13522  dsndxnplusgndx  13523  dsndxnmulrndx  13524  slotsdnscsi  13525  dsndxntsetndx  13526  unifndxnbasendx  13532  unifndxntsetndx  13533  setsmsdsg  15476  2logb9irr  15967  2logb3irr  15969  2logb9irrap  15973  konigsberglem2  16615