Theorem gtneii 8275

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8814 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8264	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   < clt 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219

This theorem is referenced by:  ltneii  8276  ine0  8573  fztpval  10318  ene1  12351  3lcm2e6  12737  starvndxnbasendx  13230  starvndxnplusgndx  13231  starvndxnmulrndx  13232  scandxnbasendx  13242  scandxnplusgndx  13243  scandxnmulrndx  13244  vscandxnbasendx  13247  vscandxnplusgndx  13248  vscandxnmulrndx  13249  vscandxnscandx  13250  ipndxnbasendx  13260  ipndxnplusgndx  13261  ipndxnmulrndx  13262  tsetndxnbasendx  13279  tsetndxnplusgndx  13280  tsetndxnmulrndx  13281  tsetndxnstarvndx  13282  slotstnscsi  13283  plendxnbasendx  13293  plendxnplusgndx  13294  plendxnmulrndx  13295  plendxnscandx  13296  plendxnvscandx  13297  dsndxnbasendx  13308  dsndxnplusgndx  13309  dsndxnmulrndx  13310  slotsdnscsi  13311  dsndxntsetndx  13312  unifndxnbasendx  13318  unifndxntsetndx  13319  setsmsdsg  15210  2logb9irr  15701  2logb3irr  15703  2logb9irrap  15707