Theorem gtneii 8428

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8970 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8416	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  ltneii  8429  ine0  8728  fztpval  10507  ene1  12577  3lcm2e6  12964  ballotfilemi1  13303  starvndxnbasendx  13555  starvndxnplusgndx  13556  starvndxnmulrndx  13557  scandxnbasendx  13567  scandxnplusgndx  13568  scandxnmulrndx  13569  vscandxnbasendx  13572  vscandxnplusgndx  13573  vscandxnmulrndx  13574  vscandxnscandx  13575  ipndxnbasendx  13585  ipndxnplusgndx  13586  ipndxnmulrndx  13587  tsetndxnbasendx  13604  tsetndxnplusgndx  13605  tsetndxnmulrndx  13606  tsetndxnstarvndx  13607  slotstnscsi  13608  plendxnbasendx  13618  plendxnplusgndx  13619  plendxnmulrndx  13620  plendxnscandx  13621  plendxnvscandx  13622  dsndxnbasendx  13633  dsndxnplusgndx  13634  dsndxnmulrndx  13635  slotsdnscsi  13636  dsndxntsetndx  13637  unifndxnbasendx  13643  unifndxntsetndx  13644  setsmsdsg  15706  2logb9irr  16207  2logb3irr  16209  2logb9irrap  16213  konigsberglem2  16935