Theorem gtneii 8274

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8813 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8263	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218

This theorem is referenced by:  ltneii  8275  ine0  8572  fztpval  10317  ene1  12345  3lcm2e6  12731  starvndxnbasendx  13224  starvndxnplusgndx  13225  starvndxnmulrndx  13226  scandxnbasendx  13236  scandxnplusgndx  13237  scandxnmulrndx  13238  vscandxnbasendx  13241  vscandxnplusgndx  13242  vscandxnmulrndx  13243  vscandxnscandx  13244  ipndxnbasendx  13254  ipndxnplusgndx  13255  ipndxnmulrndx  13256  tsetndxnbasendx  13273  tsetndxnplusgndx  13274  tsetndxnmulrndx  13275  tsetndxnstarvndx  13276  slotstnscsi  13277  plendxnbasendx  13287  plendxnplusgndx  13288  plendxnmulrndx  13289  plendxnscandx  13290  plendxnvscandx  13291  dsndxnbasendx  13302  dsndxnplusgndx  13303  dsndxnmulrndx  13304  slotsdnscsi  13305  dsndxntsetndx  13306  unifndxnbasendx  13312  unifndxntsetndx  13313  setsmsdsg  15203  2logb9irr  15694  2logb3irr  15696  2logb9irrap  15700