Theorem gtneii 8122

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8661 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8111	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4033  ℝcr 7878   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  ltneii  8123  ine0  8420  fztpval  10158  ene1  11950  3lcm2e6  12328  starvndxnbasendx  12819  starvndxnplusgndx  12820  starvndxnmulrndx  12821  scandxnbasendx  12831  scandxnplusgndx  12832  scandxnmulrndx  12833  vscandxnbasendx  12836  vscandxnplusgndx  12837  vscandxnmulrndx  12838  vscandxnscandx  12839  ipndxnbasendx  12849  ipndxnplusgndx  12850  ipndxnmulrndx  12851  tsetndxnbasendx  12868  tsetndxnplusgndx  12869  tsetndxnmulrndx  12870  tsetndxnstarvndx  12871  slotstnscsi  12872  plendxnbasendx  12882  plendxnplusgndx  12883  plendxnmulrndx  12884  plendxnscandx  12885  plendxnvscandx  12886  dsndxnbasendx  12893  dsndxnplusgndx  12894  dsndxnmulrndx  12895  slotsdnscsi  12896  dsndxntsetndx  12897  unifndxnbasendx  12903  unifndxntsetndx  12904  setsmsdsg  14716  2logb9irr  15207  2logb3irr  15209  2logb9irrap  15213