Theorem gtneii 8422

Description: 'Less than' implies not equal. See also gtapii 8964 which is the same for apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 8410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 430	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4130  ℝcr 8178   < clt 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltirr 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365

This theorem is used by:  ltneii  8423  ine0  8722  fztpval  10500  ene1  12568  3lcm2e6  12955  ballotfilemi1  13294  starvndxnbasendx  13545  starvndxnplusgndx  13546  starvndxnmulrndx  13547  scandxnbasendx  13557  scandxnplusgndx  13558  scandxnmulrndx  13559  vscandxnbasendx  13562  vscandxnplusgndx  13563  vscandxnmulrndx  13564  vscandxnscandx  13565  ipndxnbasendx  13575  ipndxnplusgndx  13576  ipndxnmulrndx  13577  tsetndxnbasendx  13594  tsetndxnplusgndx  13595  tsetndxnmulrndx  13596  tsetndxnstarvndx  13597  slotstnscsi  13598  plendxnbasendx  13608  plendxnplusgndx  13609  plendxnmulrndx  13610  plendxnscandx  13611  plendxnvscandx  13612  dsndxnbasendx  13623  dsndxnplusgndx  13624  dsndxnmulrndx  13625  slotsdnscsi  13626  dsndxntsetndx  13627  unifndxnbasendx  13633  unifndxntsetndx  13634  setsmsdsg  15630  2logb9irr  16126  2logb3irr  16128  2logb9irrap  16132  konigsberglem2  16828