Theorem feqmptd 5759

Description: Deduction form of dffn5im 5751. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feqmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 5536	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		dffn5im 5751	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ↦ cmpt 4193   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388

This theorem is used by:  feqresmpt  5760  cofmpt  5880  fcoconst  5882  suppssof1  6324  ofco  6325  caofinvl  6332  caofcom  6337  caofdig  6340  mapxpen  7152  xpmapenlem  7153  2omap  7324  cnrecnv  11698  grpinvcnv  13932  gsumsplitfi  14256  gsum2dfilem2  14272  gsumcom2fi  14275  prdsidlem  14300  pwsplusgval  14315  pwsmulrval  14316  pwsinvg  14322  pwssub  14323  rrgsupp  14683  mulgrhm2  15054  gsumbagdiaglem  15175  psrass1filem  15177  psrlinv  15194  psr1clfi  15198  psrass1fi  15201  lmcn2  15506  cnmpt11f  15510  cnmpt21f  15518  cncfmpt1f  15824  negfcncf  15832  cnrehmeocntop  15836  ivthreinc  15871  dvcnp2cntop  15925  dvimulf  15932  dvcoapbr  15933  dvcj  15935  dvfre  15936  dvmptcjx  15950  dvef  15953  plycolemc  15984  plyco  15985  plycjlemc  15986  dvply2g  15992  pw1map  17230