Theorem feqmptd 5753

Description: Deduction form of dffn5im 5745. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feqmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 5531	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		dffn5im 5745	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ↦ cmpt 4190   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383

This theorem is used by:  feqresmpt  5754  cofmpt  5871  fcoconst  5873  suppssof1  6314  ofco  6315  caofinvl  6322  caofcom  6327  caofdig  6330  mapxpen  7142  xpmapenlem  7143  2omap  7312  cnrecnv  11659  grpinvcnv  13856  prdsidlem  14176  pwsplusgval  14191  pwsmulrval  14192  pwsinvg  14198  pwssub  14199  rrgsupp  14557  mulgrhm2  14928  psrlinv  15058  psr1clfi  15062  lmcn2  15364  cnmpt11f  15368  cnmpt21f  15376  cncfmpt1f  15682  negfcncf  15690  cnrehmeocntop  15694  ivthreinc  15729  dvcnp2cntop  15783  dvimulf  15790  dvcoapbr  15791  dvcj  15793  dvfre  15794  dvmptcjx  15808  dvef  15811  plycolemc  15842  plyco  15843  plycjlemc  15844  dvply2g  15850  pw1map  17008