Theorem feqmptd 5730

Description: Deduction form of dffn5im 5722. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feqmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 5508	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		dffn5im 5722	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ↦ cmpt 4171   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  feqresmpt  5731  cofmpt  5846  fcoconst  5848  suppssof1  6284  ofco  6285  caofinvl  6292  caofcom  6297  caofdig  6300  mapxpen  7101  xpmapenlem  7102  2omap  7269  cnrecnv  11595  pwsplusgval  13508  pwsmulrval  13509  prdsidlem  13660  grpinvcnv  13781  pwsinvg  13825  pwssub  13826  rrgsupp  14411  mulgrhm2  14758  psrlinv  14839  psr1clfi  14843  lmcn2  15145  cnmpt11f  15149  cnmpt21f  15157  cncfmpt1f  15463  negfcncf  15471  cnrehmeocntop  15475  ivthreinc  15510  dvcnp2cntop  15564  dvimulf  15571  dvcoapbr  15572  dvcj  15574  dvfre  15575  dvmptcjx  15589  dvef  15592  plycolemc  15623  plyco  15624  plycjlemc  15625  dvply2g  15631  pw1map  16769