Theorem feqmptd 5756

Description: Deduction form of dffn5im 5748. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feqmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 5533	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		dffn5im 5748	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ↦ cmpt 4192   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  feqresmpt  5757  cofmpt  5877  fcoconst  5879  suppssof1  6320  ofco  6321  caofinvl  6328  caofcom  6333  caofdig  6336  mapxpen  7148  xpmapenlem  7149  2omap  7318  cnrecnv  11690  grpinvcnv  13922  prdsidlem  14242  pwsplusgval  14257  pwsmulrval  14258  pwsinvg  14264  pwssub  14265  rrgsupp  14623  mulgrhm2  14994  psrlinv  15124  psr1clfi  15128  lmcn2  15430  cnmpt11f  15434  cnmpt21f  15442  cncfmpt1f  15748  negfcncf  15756  cnrehmeocntop  15760  ivthreinc  15795  dvcnp2cntop  15849  dvimulf  15856  dvcoapbr  15857  dvcj  15859  dvfre  15860  dvmptcjx  15874  dvef  15877  plycolemc  15908  plyco  15909  plycjlemc  15910  dvply2g  15916  pw1map  17123