Theorem feqmptd 5695

Description: Deduction form of dffn5im 5687. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feqmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 5479	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		dffn5im 5687	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ↦ cmpt 4148   Fn wfn 5319  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  feqresmpt  5696  cofmpt  5812  fcoconst  5814  suppssof1  6248  ofco  6249  caofinvl  6256  caofcom  6261  caofdig  6264  mapxpen  7029  xpmapenlem  7030  cnrecnv  11461  pwsplusgval  13368  pwsmulrval  13369  prdsidlem  13520  grpinvcnv  13641  pwsinvg  13685  pwssub  13686  mulgrhm2  14614  psrlinv  14688  psr1clfi  14692  lmcn2  14994  cnmpt11f  14998  cnmpt21f  15006  cncfmpt1f  15312  negfcncf  15320  cnrehmeocntop  15324  ivthreinc  15359  dvcnp2cntop  15413  dvimulf  15420  dvcoapbr  15421  dvcj  15423  dvfre  15424  dvmptcjx  15438  dvef  15441  plycolemc  15472  plyco  15473  plycjlemc  15474  dvply2g  15480  2omap  16530  pw1map  16532