Theorem feqmptd 5699

Description: Deduction form of dffn5im 5691. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
feqmptd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqmptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		ffn 5482	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		dffn5im 5691	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ↦ cmpt 4150   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  feqresmpt  5700  cofmpt  5816  fcoconst  5818  suppssof1  6252  ofco  6253  caofinvl  6260  caofcom  6265  caofdig  6268  mapxpen  7033  xpmapenlem  7034  cnrecnv  11470  pwsplusgval  13377  pwsmulrval  13378  prdsidlem  13529  grpinvcnv  13650  pwsinvg  13694  pwssub  13695  mulgrhm2  14623  psrlinv  14697  psr1clfi  14701  lmcn2  15003  cnmpt11f  15007  cnmpt21f  15015  cncfmpt1f  15321  negfcncf  15329  cnrehmeocntop  15333  ivthreinc  15368  dvcnp2cntop  15422  dvimulf  15429  dvcoapbr  15430  dvcj  15432  dvfre  15433  dvmptcjx  15447  dvef  15450  plycolemc  15481  plyco  15482  plycjlemc  15483  dvply2g  15489  2omap  16594  pw1map  16596