Theorem foima 5515

Description: The image of the domain of an onto function. (Contributed by NM, 29-Nov-2002.)

Assertion

Ref	Expression
foima	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem foima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 5041	. 2 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
2		fof 5510	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		fdm 5441	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	imaeq2d 5031	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ 𝐴))
6		forn 5513	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
7	1, 5, 6	3eqtr3a 2263	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐹 “ 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373  dom cdm 4683  ran crn 4684   “ cima 4686  ⟶wf 5276  –onto→wfo 5278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-fn 5283  df-f 5284  df-fo 5286

This theorem is referenced by:  foimacnv  5552  foima2  5833  fiintim  7043  fidcenumlemr  7072