Theorem fof 5615

Description: An onto mapping is a mapping. (Contributed by NM, 3-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fof	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem fof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss 3302	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2	1	anim2i 342	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
3		df-fo 5383	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
4		df-f 5381	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
5	2, 3, 4	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  ran crn 4775   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  –onto→wfo 5375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233  df-f 5381  df-fo 5383

This theorem is used by:  fofun  5616  fofn  5617  dffo2  5619  foima  5620  resdif  5661  ffoss  5672  fconstfvm  5933  cocan2  5994  foeqcnvco  5996  focdmex  6344  algrflem  6465  algrflemg  6466  tposf2  6539  mapfoss  6947  mapsn  6972  ssdomg  7065  fopwdom  7136  fidcenumlemrks  7270  fidcenumlemr  7272  ctmlemr  7448  ctm  7449  ctssdclemn0  7450  ctssdccl  7451  ctssdc  7453  enumctlemm  7454  enumct  7455  fodjuomnilemdc  7484  exmidfodomrlemr  7554  exmidfodomrlemrALT  7555  suplocexprlemdisj  8087  suplocexprlemub  8090  wrdsymb  11334  ennnfonelemdc  13292  ennnfonelemg  13296  ennnfonelemp1  13299  ennnfonelemhdmp1  13302  ennnfonelemkh  13305  ennnfonelemhf1o  13306  ennnfonelemex  13307  ennnfonelemhom  13308  ctinfomlemom  13320  ctinf  13323  ctiunctlemudc  13330  ctiunctlemf  13331  omctfn  13336  imasival  13629  imasbas  13630  imasplusg  13631  imasmulr  13632  imasaddfnlemg  13637  imasaddvallemg  13638  imasaddflemg  13639  imasmnd2  13761  imasgrp2  13915  mhmid  13920  mhmmnd  13921  mhmfmhm  13922  ghmgrp  13923  ghmfghm  14132  imasring  14371  znunit  14996  znrrg  14997  dvrecap  15816  gausslemma2dlem1f1o  16191  subctctexmid  17042  pw1nct  17045