Theorem fof 5618

Description: An onto mapping is a mapping. (Contributed by NM, 3-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fof	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem fof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss 3302	. . 3 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
2	1	anim2i 342	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
3		df-fo 5386	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
4		df-f 5384	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝐵))
5	2, 3, 4	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  ran crn 4777   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  –onto→wfo 5378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233  df-f 5384  df-fo 5386

This theorem is used by:  fofun  5619  fofn  5620  dffo2  5622  foima  5623  resdif  5664  ffoss  5675  fconstfvm  5936  cocan2  5997  foeqcnvco  5999  focdmex  6348  algrflem  6469  algrflemg  6470  tposf2  6543  mapfoss  6951  mapsn  6977  ssdomg  7070  fopwdom  7141  fidcenumlemrks  7276  fidcenumlemr  7278  ctmlemr  7455  ctm  7456  ctssdclemn0  7457  ctssdccl  7458  ctssdc  7460  enumctlemm  7461  enumct  7462  fodjuomnilemdc  7491  exmidfodomrlemr  7561  exmidfodomrlemrALT  7562  suplocexprlemdisj  8094  suplocexprlemub  8097  wrdsymb  11355  ennnfonelemdc  13349  ennnfonelemg  13353  ennnfonelemp1  13356  ennnfonelemhdmp1  13359  ennnfonelemkh  13362  ennnfonelemhf1o  13363  ennnfonelemex  13364  ennnfonelemhom  13365  ctinfomlemom  13377  ctinf  13380  ctiunctlemudc  13387  ctiunctlemf  13388  omctfn  13393  imasival  13687  imasbas  13688  imasplusg  13689  imasmulr  13690  imasaddfnlemg  13695  imasaddvallemg  13696  imasaddflemg  13697  imasmnd2  13819  imasgrp2  13973  mhmid  13978  mhmmnd  13979  mhmfmhm  13980  ghmgrp  13981  ghmfghm  14221  gsum2dfilem2  14273  imasring  14479  znunit  15104  znrrg  15105  dvrecap  15951  gausslemma2dlem1f1o  16396  subctctexmid  17247  pw1nct  17250