ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hmeores GIF version
Theorem hmeores 13818
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeores ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ)Homeo(𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))))
Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 13808 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21adantr 276 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 hmeores.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
43cnrest 13738 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
52, 4sylancom 420 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
6 cntop2 13705 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
72, 6syl 14 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Top)
8 eqid 2177 . . . . . 6 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
98toptopon 13521 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
107, 9sylib 122 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
11 df-ima 4640 . . . . . 6 (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ)
1211eqimss2i 3213 . . . . 5 ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† (𝐹 β€œ π‘Œ)
1312a1i 9 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† (𝐹 β€œ π‘Œ))
14 imassrn 4982 . . . . 5 (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† ran 𝐹
153, 8cnf 13707 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
162, 15syl 14 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
1716frnd 5376 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1814, 17sstrid 3167 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐾)
19 cnrest2 13739 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† (𝐹 β€œ π‘Œ) ∧ (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)))))
2010, 13, 18, 19syl3anc 1238 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)))))
215, 20mpbid 147 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))))
22 hmeocnvcn 13809 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2322adantr 276 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
248, 3cnf 13707 . . . . 5 (◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) β†’ ◑𝐹:βˆͺ πΎβŸΆπ‘‹)
25 ffun 5369 . . . . 5 (◑𝐹:βˆͺ πΎβŸΆπ‘‹ β†’ Fun ◑𝐹)
26 funcnvres 5290 . . . . 5 (Fun ◑𝐹 β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)))
2723, 24, 25, 264syl 18 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)))
288cnrest 13738 . . . . 5 ((◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽))
2923, 18, 28syl2anc 411 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽))
3027, 29eqeltrd 2254 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽))
31 cntop1 13704 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
322, 31syl 14 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
333toptopon 13521 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3432, 33sylib 122 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
35 dfdm4 4820 . . . . . 6 dom (𝐹 β†Ύ π‘Œ) = ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ)
36 fssres 5392 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
3716, 36sylancom 420 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
3837fdmd 5373 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ dom (𝐹 β†Ύ π‘Œ) = π‘Œ)
3935, 38eqtr3id 2224 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = π‘Œ)
40 eqimss 3210 . . . . 5 (ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = π‘Œ β†’ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
4139, 40syl 14 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
42 simpr 110 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
43 cnrest2 13739 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
4434, 41, 42, 43syl3anc 1238 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
4530, 44mpbid 147 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
46 ishmeo 13807 . 2 ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ)Homeo(𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))) ∧ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
4721, 45, 46sylanbrc 417 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ)Homeo(𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   βŠ† wss 3130  βˆͺ cuni 3810  β—‘ccnv 4626  dom cdm 4627  ran crn 4628   β†Ύ cres 4629   β€œ cima 4630  Fun wfun 5211  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   β†Ύt crest 12688  Topctop 13500  TopOnctopon 13513   Cn ccn 13688  Homeochmeo 13803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-cn 13691  df-hmeo 13804
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator