Theorem lelttrdi 8605

Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lelttrdi.r	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrdi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2	1	simp1d 1035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1	simp2d 1036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1	simp3d 1037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		lelttrdi.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐶)
11	3, 5, 7, 8, 10	ltletrd 8602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
12	11	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8030   < clt 8213   ≤ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltwlin 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  9548  subfzo0  10487