ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lelttrdi GIF version

Theorem lelttrdi 8211
Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lelttrdi.r (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
lelttrdi (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi
StepHypRef Expression
1 lelttrdi.r . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
21simp1d 994 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
41simp2d 995 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
61simp3d 996 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8 simpr 109 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9 lelttrdi.l . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
109adantr 274 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐶)
113, 5, 7, 8, 10ltletrd 8208 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
1211ex 114 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963  wcel 1481   class class class wbr 3936  cr 7642   < clt 7823  cle 7824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltwlin 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829
This theorem is referenced by:  subfzo0  10049
  Copyright terms: Public domain W3C validator