Theorem lelttrdi 8569

Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lelttrdi.r	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrdi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2	1	simp1d 1033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1	simp2d 1034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1	simp3d 1035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		lelttrdi.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐶)
11	3, 5, 7, 8, 10	ltletrd 8566	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
12	11	ex 115	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994   < clt 8177   ≤ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-pre-ltwlin 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  9512  subfzo0  10443