Theorem difgtsumgt 9664

Description: If the difference of a real number and a nonnegative integer is greater than another real number, the sum of the real number and the nonnegative integer is also greater than the other real number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
difgtsumgt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem difgtsumgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0cn 9523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		negsub 8537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
7	6	eqcomd 2240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
8	7	breq2d 4126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐶 < (𝐴 + -𝐵)))
9		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		simp1 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		nn0re 9522	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	renegcld 8670	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℝ)
14	10, 13	readdcld 8319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
15	11	3ad2ant2 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	10, 15	readdcld 8319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
17	9, 14, 16	3jca 1204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
18		nn0negleid 9663	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ≤ 𝐵)
19	18	3ad2ant2 1046	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ 𝐵)
20	13, 15, 10, 19	leadd2dd 8851	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ≤ (𝐴 + 𝐵))
21	17, 20	lelttrdi 8717	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + -𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
22	8, 21	sylbid 150	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460  -cneg 8461  ℕ₀cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  13061