Theorem subfzo0 10679

Description: The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subfzo0	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ( -𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

Proof of Theorem subfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 10611	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2		elfzo0 10611	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
3		nn0re 9584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
5		nnre 9321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0re 9584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
7		resubcl 8598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
9	8	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
11	4, 10	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ))
12		nn0ge0 9600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐼)
14		posdif 8791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
15	6, 5, 14	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
16	15	biimp3a 1386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 < (𝑁 − 𝐽))
17	13, 16	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
18		addgegt0 8785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽))) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
19	11, 17, 18	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
20		nn0cn 9585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℂ)
23		nn0cn 9585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
25	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		nncn 9322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	subadd23d 8667	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
30	19, 29	breqtrrd 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁))
31	6	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
32		resubcl 8598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
33	4, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
34	5	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	34	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36	33, 35	possumd 8906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝐼 − 𝐽)))
37	30, 36	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → -𝑁 < (𝐼 − 𝐽))
38	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
39	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40		readdcl 8312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
41	6, 5, 40	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	41	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
44	38, 39, 43	3jca 1208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ))
45		nn0ge0 9600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
46	45	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
48	5, 6	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
49	48	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
50	49	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
52		addge02 8809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
54	47, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁))
55	44, 54	lelttrdi 8762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 < 𝑁 → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
56	55	impancom 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
57	56	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁))
58	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
59	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
60	58, 59, 35	ltsubadd2d 8879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
61	57, 60	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)
62	37, 61	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ( -𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
63	62	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ( -𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
64	2, 63	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ( -𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
65	64	3adant2 1047	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ( -𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
66	1, 65	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ( -𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
67	66	imp 124	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ( -𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186   + caddc 8189   < clt 8367   ≤ cle 8368   − cmin 8505   -cneg 8506  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  ..^cfzo 10567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568

This theorem is used by:  addmodlteq  10857