ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt0ne0d GIF version

Theorem lt0ne0d 7889
Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lt0ne0d.1 (𝜑𝐴 < 0)
Assertion
Ref Expression
lt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d
StepHypRef Expression
1 lt0ne0d.1 . 2 (𝜑𝐴 < 0)
2 0re 7389 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32ltnri 7478 . . . 4 ¬ 0 < 0
4 breq1 3814 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
53, 4mtbiri 633 . . 3 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
65necon2ai 2303 . 2 (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 14 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wne 2249   class class class wbr 3811  0cc0 7251   < clt 7423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1re 7340  ax-addrcl 7343  ax-rnegex 7355  ax-pre-ltirr 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4405  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-ltxr 7428
This theorem is referenced by:  divalglemeuneg  10701
  Copyright terms: Public domain W3C validator