ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2pi GIF version

Theorem 1lt2pi 7560
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6688 . . . . 5 1o ∈ ω
2 nna0 6642 . . . . 5 (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1o +o ∅) = 1o
4 0lt1o 6608 . . . . 5 ∅ ∈ 1o
5 peano1 4692 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 nnaord 6677 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
75, 1, 1, 6mp3an 1373 . . . . 5 (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
84, 7mpbi 145 . . . 4 (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
93, 8eqeltrri 2305 . . 3 1o ∈ (1o +o 1o)
10 1pi 7535 . . . 4 1oN
11 addpiord 7536 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
1210, 10, 11mp2an 426 . . 3 (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
139, 12eleqtrri 2307 . 2 1o ∈ (1o +N 1o)
14 addclpi 7547 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) ∈ N)
1510, 10, 14mp2an 426 . . 3 (1o +N 1o) ∈ N
16 ltpiord 7539 . . 3 ((1oN ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
1710, 15, 16mp2an 426 . 2 (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
1813, 17mpbir 146 1 1o <N (1o +N 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1397  wcel 2202  c0 3494   class class class wbr 4088  ωcom 4688  (class class class)co 6018  1oc1o 6575   +o coa 6579  Ncnpi 7492   +N cpli 7493   <N clti 7495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-ni 7524  df-pli 7525  df-lti 7527
This theorem is referenced by:  1lt2nq  7626
  Copyright terms: Public domain W3C validator