ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2pi GIF version

Theorem 1lt2pi 7168
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6420 . . . . 5 1o ∈ ω
2 nna0 6374 . . . . 5 (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1o +o ∅) = 1o
4 0lt1o 6341 . . . . 5 ∅ ∈ 1o
5 peano1 4512 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 nnaord 6409 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
75, 1, 1, 6mp3an 1316 . . . . 5 (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
84, 7mpbi 144 . . . 4 (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
93, 8eqeltrri 2214 . . 3 1o ∈ (1o +o 1o)
10 1pi 7143 . . . 4 1oN
11 addpiord 7144 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
1210, 10, 11mp2an 423 . . 3 (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
139, 12eleqtrri 2216 . 2 1o ∈ (1o +N 1o)
14 addclpi 7155 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) ∈ N)
1510, 10, 14mp2an 423 . . 3 (1o +N 1o) ∈ N
16 ltpiord 7147 . . 3 ((1oN ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
1710, 15, 16mp2an 423 . 2 (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
1813, 17mpbir 145 1 1o <N (1o +N 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  c0 3364   class class class wbr 3933  ωcom 4508  (class class class)co 5778  1oc1o 6310   +o coa 6314  Ncnpi 7100   +N cpli 7101   <N clti 7103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-eprel 4215  df-id 4219  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-irdg 6271  df-1o 6317  df-oadd 6321  df-ni 7132  df-pli 7133  df-lti 7135
This theorem is referenced by:  1lt2nq  7234
  Copyright terms: Public domain W3C validator