ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2pi GIF version

Theorem 1lt2pi 7386
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6560 . . . . 5 1o ∈ ω
2 nna0 6514 . . . . 5 (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (1o +o ∅) = 1o
4 0lt1o 6480 . . . . 5 ∅ ∈ 1o
5 peano1 4618 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 nnaord 6549 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
75, 1, 1, 6mp3an 1348 . . . . 5 (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
84, 7mpbi 145 . . . 4 (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
93, 8eqeltrri 2263 . . 3 1o ∈ (1o +o 1o)
10 1pi 7361 . . . 4 1oN
11 addpiord 7362 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
1210, 10, 11mp2an 426 . . 3 (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
139, 12eleqtrri 2265 . 2 1o ∈ (1o +N 1o)
14 addclpi 7373 . . . 4 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) ∈ N)
1510, 10, 14mp2an 426 . . 3 (1o +N 1o) ∈ N
16 ltpiord 7365 . . 3 ((1oN ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
1710, 15, 16mp2an 426 . 2 (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
1813, 17mpbir 146 1 1o <N (1o +N 1o)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  c0 3442   class class class wbr 4025  ωcom 4614  (class class class)co 5906  1oc1o 6449   +o coa 6453  Ncnpi 7318   +N cpli 7319   <N clti 7321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-eprel 4314  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-1o 6456  df-oadd 6460  df-ni 7350  df-pli 7351  df-lti 7353
This theorem is referenced by:  1lt2nq  7452
  Copyright terms: Public domain W3C validator