Theorem 1lt2pi 7707

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	⊢ 1o <N (1o +N 1o)

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6793	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
2		nna0 6747	. . . . 5 ⊢ (1o ∈ ω → (1o +o ∅) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) = 1o
4		0lt1o 6713	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
5		peano1 4741	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		nnaord 6782	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ ω ∧ 1o ∈ ω) → (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)))
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1378	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o))
8	4, 7	mpbi 145	. . . 4 ⊢ (1o +o ∅) ∈ (1o +o 1o)
9	3, 8	eqeltrri 2312	. . 3 ⊢ 1o ∈ (1o +o 1o)
10		1pi 7682	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
11		addpiord 7683	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
12	10, 10, 11	mp2an 430	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
13	9, 12	eleqtrri 2314	. 2 ⊢ 1o ∈ (1o +N 1o)
14		addclpi 7694	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) ∈ N)
15	10, 10, 14	mp2an 430	. . 3 ⊢ (1o +N 1o) ∈ N
16		ltpiord 7686	. . 3 ⊢ ((1o ∈ N ∧ (1o +N 1o) ∈ N) → (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o)))
17	10, 15, 16	mp2an 430	. 2 ⊢ (1o <N (1o +N 1o) ↔ 1o ∈ (1o +N 1o))
18	13, 17	mpbir 146	1 ⊢ 1o <N (1o +N 1o)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  ωcom 4737  (class class class)co 6085  1_oc1o 6680   +_o coa 6684  Ncnpi 7639   +_N cpli 7640   <_N clti 7642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-ni 7671  df-pli 7672  df-lti 7674

This theorem is used by:  1lt2nq  7773