Theorem 0tonninf 10212

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2	1	fveq1i 5422	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0)
3		0xnn0 9046	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		0nn0 8992	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		nn0nepnf 9048	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ +∞
7	6	necomi 2393	. . . . 5 ⊢ +∞ ≠ 0
8		fvunsng 5614	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 0) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0))
9	3, 7, 8	mp2an 422	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0)
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	frechashgf1o 10201	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
12		f1ocnv 5380	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω
14		f1of 5367	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
16		fvco3 5492	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0)))
17	15, 4, 16	mp2an 422	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
18	2, 9, 17	3eqtri 2164	. . 3 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
19		0zd 9066	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
20	19, 10	frec2uz0d 10172	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
21	20	mptru 1340	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
22		peano1 4508	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
23		f1ocnvfv 5680	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
24	11, 22, 23	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
25	21, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
26	25	fveq2i 5424	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐺‘0)) = (𝐹‘∅)
27		eleq2 2203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
28	27	ifbid 3493	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
29	28	mpteq2dv 4019	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
31		omex 4507	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
32	31	mptex 5646	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5501	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
34	22, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
35	18, 26, 34	3eqtri 2164	. 2 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
36		noel 3367	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑖 ∈ ∅
37	36	iffalsei 3483	. . 3 ⊢ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅) = ∅
38	37	mpteq2i 4015	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
39		eqidd 2140	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ∅ = ∅)
40	39	cbvmptv 4024	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
41	35, 38, 40	3eqtri 2164	1 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331  ⊤wtru 1332   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   ∪ cun 3069  ∅c0 3363  ifcif 3474  {csn 3527  ⟨cop 3530   ↦ cmpt 3989  ωcom 4504   × cxp 4537  ^◡ccnv 4538   ∘ ccom 4543  ⟶wf 5119  –1-1-onto→wf1o 5122  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  freccfrec 6287  1_oc1o 6306  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623  +∞cpnf 7797  ℕ₀cn0 8977  ℕ₀^*cxnn0 9040  ℤcz 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-xnn0 9041  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by: (None)