Theorem 0tonninf 10602

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2	1	fveq1i 5589	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0)
3		0xnn0 9379	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		0nn0 9325	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		nn0nepnf 9381	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ +∞
7	6	necomi 2462	. . . . 5 ⊢ +∞ ≠ 0
8		fvunsng 5790	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 0) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0))
9	3, 7, 8	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0)
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	frechashgf1o 10590	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
12		f1ocnv 5546	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω
14		f1of 5533	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
16		fvco3 5662	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0)))
17	15, 4, 16	mp2an 426	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
18	2, 9, 17	3eqtri 2231	. . 3 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
19		0zd 9399	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
20	19, 10	frec2uz0d 10561	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
21	20	mptru 1382	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
22		peano1 4649	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
23		f1ocnvfv 5860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
24	11, 22, 23	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
25	21, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
26	25	fveq2i 5591	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐺‘0)) = (𝐹‘∅)
27		eleq2 2270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
28	27	ifbid 3596	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
29	28	mpteq2dv 4142	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
31		omex 4648	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
32	31	mptex 5822	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5671	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
34	22, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
35	18, 26, 34	3eqtri 2231	. 2 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
36		noel 3468	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑖 ∈ ∅
37	36	iffalsei 3584	. . 3 ⊢ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅) = ∅
38	37	mpteq2i 4138	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
39		eqidd 2207	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ∅ = ∅)
40	39	cbvmptv 4147	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
41	35, 38, 40	3eqtri 2231	1 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   ∪ cun 3168  ∅c0 3464  ifcif 3575  {csn 3637  ⟨cop 3640   ↦ cmpt 4112  ωcom 4645   × cxp 4680  ^◡ccnv 4681   ∘ ccom 4686  ⟶wf 5275  –1-1-onto→wf1o 5278  ‘cfv 5279  (class class class)co 5956  freccfrec 6488  1_oc1o 6507  0cc0 7940  1c1 7941   + caddc 7943  +∞cpnf 8119  ℕ₀cn0 9310  ℕ₀^*cxnn0 9373  ℤcz 9387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-xnn0 9374  df-z 9388  df-uz 9664

This theorem is referenced by: (None)