ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0tonninf GIF version

Theorem 0tonninf 9765
Description: The mapping of zero into is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
Assertion
Ref Expression
0tonninf (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 0tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
21fveq1i 5262 . . . 4 (𝐼‘0) = (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘0)
3 0xnn0 8667 . . . . 5 0 ∈ ℕ0*
4 0nn0 8613 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
5 nn0nepnf 8669 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6 0 ≠ +∞
76necomi 2336 . . . . 5 +∞ ≠ 0
8 fvunsng 5447 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 0) → (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘0) = ((𝐹𝐺)‘0))
93, 7, 8mp2an 417 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘0) = ((𝐹𝐺)‘0)
10 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
1110frechashgf1o 9755 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
12 f1ocnv 5222 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ℕ01-1-onto→ω)
1311, 12ax-mp 7 . . . . . 6 𝐺:ℕ01-1-onto→ω
14 f1of 5209 . . . . . 6 (𝐺:ℕ01-1-onto→ω → 𝐺:ℕ0⟶ω)
1513, 14ax-mp 7 . . . . 5 𝐺:ℕ0⟶ω
16 fvco3 5331 . . . . 5 ((𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
1715, 4, 16mp2an 417 . . . 4 ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0))
182, 9, 173eqtri 2109 . . 3 (𝐼‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0))
19 0zd 8687 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2019, 10frec2uz0d 9726 . . . . . 6 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
2120trud 1296 . . . . 5 (𝐺‘∅) = 0
22 peano1 4380 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
23 f1ocnvfv 5512 . . . . . 6 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅))
2411, 22, 23mp2an 417 . . . . 5 ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅)
2521, 24ax-mp 7 . . . 4 (𝐺‘0) = ∅
2625fveq2i 5264 . . 3 (𝐹‘(𝐺‘0)) = (𝐹‘∅)
27 eleq2 2148 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (𝑖𝑛𝑖 ∈ ∅))
2827ifbid 3398 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))
2928mpteq2dv 3903 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)))
30 fxnn0nninf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)))
31 omex 4379 . . . . . 6 ω ∈ V
3231mptex 5477 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1𝑜, ∅)) ∈ V
3329, 30, 32fvmpt3i 5340 . . . 4 (∅ ∈ ω → (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)))
3422, 33ax-mp 7 . . 3 (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))
3518, 26, 343eqtri 2109 . 2 (𝐼‘0) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))
36 noel 3279 . . . 4 ¬ 𝑖 ∈ ∅
3736iffalsei 3388 . . 3 if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅) = ∅
3837mpteq2i 3899 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
39 eqidd 2086 . . 3 (𝑖 = 𝑥 → ∅ = ∅)
4039cbvmptv 3907 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
4135, 38, 403eqtri 2109 1 (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1287  wtru 1288  wcel 1436  wne 2251  cun 2986  c0 3275  ifcif 3379  {csn 3430  cop 3433  cmpt 3873  ωcom 4376   × cxp 4407  ccnv 4408  ccom 4413  wf 4973  1-1-ontowf1o 4976  cfv 4977  (class class class)co 5606  freccfrec 6102  1𝑜c1o 6121  0cc0 7286  1c1 7287   + caddc 7289  +∞cpnf 7455  0cn0 8598  0*cxnn0 8661  cz 8675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-addcom 7381  ax-addass 7383  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-ltadd 7397
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-recs 6017  df-frec 6103  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-inn 8350  df-n0 8599  df-xnn0 8662  df-z 8676  df-uz 8944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator