ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0tonninf GIF version

Theorem 0tonninf 10105
Description: The mapping of zero into is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
Assertion
Ref Expression
0tonninf (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
Distinct variable group:   𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 0tonninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.i . . . . 5 𝐼 = ((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
21fveq1i 5376 . . . 4 (𝐼‘0) = (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0)
3 0xnn0 8950 . . . . 5 0 ∈ ℕ0*
4 0nn0 8896 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
5 nn0nepnf 8952 . . . . . . 7 (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6 0 ≠ +∞
76necomi 2367 . . . . 5 +∞ ≠ 0
8 fvunsng 5568 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 0) → (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹𝐺)‘0))
93, 7, 8mp2an 420 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹𝐺)‘0)
10 fxnn0nninf.g . . . . . . . 8 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
1110frechashgf1o 10094 . . . . . . 7 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
12 f1ocnv 5336 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0𝐺:ℕ01-1-onto→ω)
1311, 12ax-mp 7 . . . . . 6 𝐺:ℕ01-1-onto→ω
14 f1of 5323 . . . . . 6 (𝐺:ℕ01-1-onto→ω → 𝐺:ℕ0⟶ω)
1513, 14ax-mp 7 . . . . 5 𝐺:ℕ0⟶ω
16 fvco3 5446 . . . . 5 ((𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0)))
1715, 4, 16mp2an 420 . . . 4 ((𝐹𝐺)‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0))
182, 9, 173eqtri 2139 . . 3 (𝐼‘0) = (𝐹‘(𝐺‘0))
19 0zd 8970 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2019, 10frec2uz0d 10065 . . . . . 6 (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
2120mptru 1323 . . . . 5 (𝐺‘∅) = 0
22 peano1 4468 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
23 f1ocnvfv 5634 . . . . . 6 ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅))
2411, 22, 23mp2an 420 . . . . 5 ((𝐺‘∅) = 0 → (𝐺‘0) = ∅)
2521, 24ax-mp 7 . . . 4 (𝐺‘0) = ∅
2625fveq2i 5378 . . 3 (𝐹‘(𝐺‘0)) = (𝐹‘∅)
27 eleq2 2178 . . . . . . 7 (𝑛 = ∅ → (𝑖𝑛𝑖 ∈ ∅))
2827ifbid 3459 . . . . . 6 (𝑛 = ∅ → if(𝑖𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
2928mpteq2dv 3979 . . . . 5 (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
30 fxnn0nninf.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)))
31 omex 4467 . . . . . 6 ω ∈ V
3231mptex 5600 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑛, 1o, ∅)) ∈ V
3329, 30, 32fvmpt3i 5455 . . . 4 (∅ ∈ ω → (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
3422, 33ax-mp 7 . . 3 (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
3518, 26, 343eqtri 2139 . 2 (𝐼‘0) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
36 noel 3333 . . . 4 ¬ 𝑖 ∈ ∅
3736iffalsei 3449 . . 3 if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅) = ∅
3837mpteq2i 3975 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
39 eqidd 2116 . . 3 (𝑖 = 𝑥 → ∅ = ∅)
4039cbvmptv 3984 . 2 (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
4135, 38, 403eqtri 2139 1 (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1314  wtru 1315  wcel 1463  wne 2282  cun 3035  c0 3329  ifcif 3440  {csn 3493  cop 3496  cmpt 3949  ωcom 4464   × cxp 4497  ccnv 4498  ccom 4503  wf 5077  1-1-ontowf1o 5080  cfv 5081  (class class class)co 5728  freccfrec 6241  1oc1o 6260  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550  +∞cpnf 7721  0cn0 8881  0*cxnn0 8944  cz 8958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-xnn0 8945  df-z 8959  df-uz 9229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator