Theorem 0tonninf 9765

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1𝑜, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})
2	1	fveq1i 5262	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘0)
3		0xnn0 8667	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		0nn0 8613	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		nn0nepnf 8669	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ +∞
7	6	necomi 2336	. . . . 5 ⊢ +∞ ≠ 0
8		fvunsng 5447	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 0) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0))
9	3, 7, 8	mp2an 417	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1𝑜})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0)
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	frechashgf1o 9755	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
12		f1ocnv 5222	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω
14		f1of 5209	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
16		fvco3 5331	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0)))
17	15, 4, 16	mp2an 417	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
18	2, 9, 17	3eqtri 2109	. . 3 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
19		0zd 8687	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
20	19, 10	frec2uz0d 9726	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
21	20	trud 1296	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
22		peano1 4380	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
23		f1ocnvfv 5512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
24	11, 22, 23	mp2an 417	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
25	21, 24	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
26	25	fveq2i 5264	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐺‘0)) = (𝐹‘∅)
27		eleq2 2148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
28	27	ifbid 3398	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1𝑜, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))
29	28	mpteq2dv 3903	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)))
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1𝑜, ∅)))
31		omex 4379	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
32	31	mptex 5477	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1𝑜, ∅)) ∈ V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5340	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)))
34	22, 33	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))
35	18, 26, 34	3eqtri 2109	. 2 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅))
36		noel 3279	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑖 ∈ ∅
37	36	iffalsei 3388	. . 3 ⊢ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅) = ∅
38	37	mpteq2i 3899	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1𝑜, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
39		eqidd 2086	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ∅ = ∅)
40	39	cbvmptv 3907	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
41	35, 38, 40	3eqtri 2109	1 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1287  ⊤wtru 1288   ∈ wcel 1436   ≠ wne 2251   ∪ cun 2986  ∅c0 3275  ifcif 3379  {csn 3430  ⟨cop 3433   ↦ cmpt 3873  ωcom 4376   × cxp 4407  ^◡ccnv 4408   ∘ ccom 4413  ⟶wf 4973  –1-1-onto→wf1o 4976  ‘cfv 4977  (class class class)co 5606  freccfrec 6102  1_𝑜c1o 6121  0cc0 7286  1c1 7287   + caddc 7289  +∞cpnf 7455  ℕ₀cn0 8598  ℕ₀^*cxnn0 8661  ℤcz 8675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3927  ax-sep 3930  ax-nul 3938  ax-pow 3982  ax-pr 4008  ax-un 4232  ax-setind 4324  ax-iinf 4374  ax-cnex 7372  ax-resscn 7373  ax-1cn 7374  ax-1re 7375  ax-icn 7376  ax-addcl 7377  ax-addrcl 7378  ax-mulcl 7379  ax-addcom 7381  ax-addass 7383  ax-distr 7385  ax-i2m1 7386  ax-0lt1 7387  ax-0id 7389  ax-rnegex 7390  ax-cnre 7392  ax-pre-ltirr 7393  ax-pre-ltwlin 7394  ax-pre-lttrn 7395  ax-pre-ltadd 7397

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3416  df-sn 3436  df-pr 3437  df-op 3439  df-uni 3636  df-int 3671  df-iun 3714  df-br 3820  df-opab 3874  df-mpt 3875  df-tr 3910  df-id 4092  df-iord 4165  df-on 4167  df-ilim 4168  df-suc 4170  df-iom 4377  df-xp 4415  df-rel 4416  df-cnv 4417  df-co 4418  df-dm 4419  df-rn 4420  df-res 4421  df-ima 4422  df-iota 4942  df-fun 4979  df-fn 4980  df-f 4981  df-f1 4982  df-fo 4983  df-f1o 4984  df-fv 4985  df-riota 5562  df-ov 5609  df-oprab 5610  df-mpt2 5611  df-recs 6017  df-frec 6103  df-pnf 7460  df-mnf 7461  df-xr 7462  df-ltxr 7463  df-le 7464  df-sub 7591  df-neg 7592  df-inn 8350  df-n0 8599  df-xnn0 8662  df-z 8676  df-uz 8944

This theorem is referenced by: (None)