Theorem 0tonninf 10860

Description: The mapping of zero into ℕ_∞ is the sequence of all zeroes. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
fxnn0nninf.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
fxnn0nninf.i	⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})

Assertion

Ref	Expression
0tonninf	⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Distinct variable group:   𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem 0tonninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
2	1	fveq1i 5694	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0)
3		0xnn0 9619	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		0nn0 9561	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
5		nn0nepnf 9621	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ +∞
7	6	necomi 2505	. . . . 5 ⊢ +∞ ≠ 0
8		fvunsng 5903	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0* ∧ +∞ ≠ 0) → (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0))
9	3, 7, 8	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ ◡𝐺) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})‘0) = ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0)
10		fxnn0nninf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
11	10	frechashgf1o 10848	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0
12		f1ocnv 5650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω
14		f1of 5637	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐺:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝐺:ℕ0⟶ω)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡𝐺:ℕ0⟶ω
16		fvco3 5773	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺:ℕ0⟶ω ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0)))
17	15, 4, 16	mp2an 430	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ◡𝐺)‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
18	2, 9, 17	3eqtri 2263	. . 3 ⊢ (𝐼‘0) = (𝐹‘(◡𝐺‘0))
19		0zd 9639	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
20	19, 10	frec2uz0d 10819	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝐺‘∅) = 0)
21	20	mptru 1411	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘∅) = 0
22		peano1 4739	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
23		f1ocnvfv 5979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅))
24	11, 22, 23	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘∅) = 0 → (◡𝐺‘0) = ∅)
25	21, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (◡𝐺‘0) = ∅
26	25	fveq2i 5696	. . 3 ⊢ (𝐹‘(◡𝐺‘0)) = (𝐹‘∅)
27		eleq2 2302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ ∅))
28	27	ifbid 3662	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ∅ → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
29	28	mpteq2dv 4220	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = ∅ → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
30		fxnn0nninf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
31		omex 4738	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
32	31	mptex 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ V
33	29, 30, 32	fvmpt3i 5782	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ω → (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)))
34	22, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
35	18, 26, 34	3eqtri 2263	. 2 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅))
36		noel 3525	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑖 ∈ ∅
37	36	iffalsei 3649	. . 3 ⊢ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅) = ∅
38	37	mpteq2i 4216	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ ∅, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
39		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑥 → ∅ = ∅)
40	39	cbvmptv 4225	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)
41	35, 38, 40	3eqtri 2263	1 ⊢ (𝐼‘0) = (𝑥 ∈ ω ↦ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∪ cun 3218  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3708  ⟨cop 3711   ↦ cmpt 4190  ωcom 4735   × cxp 4770  ^◡ccnv 4771   ∘ ccom 4776  ⟶wf 5371  –1-1-onto→wf1o 5374  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  freccfrec 6655  1_oc1o 6674  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176  +∞cpnf 8351  ℕ₀cn0 9546  ℕ₀^*cxnn0 9613  ℤcz 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-xnn0 9614  df-z 9628  df-uz 9905

This theorem is referenced by: (None)