ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg GIF version

Theorem brtposg 6201
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶))

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 5072 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
21breq1d 3975 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( {⟨𝐴, 𝐵⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶))
323adant3 1002 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ( {⟨𝐴, 𝐵⟩}𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶))
43anbi2d 460 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩}𝐹𝐶) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶)))
5 brtpos2 6198 . . 3 (𝐶𝑋 → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩}𝐹𝐶)))
653ad2ant3 1005 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩}𝐹𝐶)))
7 opexg 4188 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
87ancoms 266 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
98anim1i 338 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐶𝑋) → (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V ∧ 𝐶𝑋))
1093impa 1177 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V ∧ 𝐶𝑋))
11 breldmg 4792 . . . . . . 7 ((⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V ∧ 𝐶𝑋 ∧ ⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ dom 𝐹)
12113expia 1187 . . . . . 6 ((⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V ∧ 𝐶𝑋) → (⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶 → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ dom 𝐹))
1310, 12syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶 → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ dom 𝐹))
14 opelcnvg 4766 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ dom 𝐹))
15143adant3 1002 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ dom 𝐹))
1613, 15sylibrd 168 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹))
17 elun1 3274 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}))
1816, 17syl6 33 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅})))
1918pm4.71rd 392 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶)))
204, 6, 193bitr4d 219 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴𝐹𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wcel 2128  Vcvv 2712  cun 3100  c0 3394  {csn 3560  cop 3563   cuni 3772   class class class wbr 3965  ccnv 4585  dom cdm 4586  tpos ctpos 6191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-fv 5178  df-tpos 6192
This theorem is referenced by:  ottposg  6202  dmtpos  6203  rntpos  6204  ovtposg  6206  dftpos3  6209  tpostpos  6211
  Copyright terms: Public domain W3C validator