Theorem cncfmet 15444

Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmet.1	⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
cncfmet.2	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
cncfmet.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
cncfmet.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cncfmet	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet

Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2		simprl 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
3		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
4		cncfmet.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
5	4	oveqi 6062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤)
6		ovres 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
7	5, 6	eqtrid 2277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
8	7	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
9		ssel2 3232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		ssel2 3232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℂ)
11		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
12	11	cnmetdval 15381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
13	9, 10, 12	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
14	8, 13	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
15	1, 2, 1, 3, 14	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥 − 𝑤)))
16	15	breq1d 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧))
17		ffvelcdm 5809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
18	17	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
19		ffvelcdm 5809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
20	19	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵)
21		cncfmet.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
22	21	oveqi 6062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤))
23		ovres 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
24	22, 23	eqtrid 2277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
25	18, 20, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)))
26		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
27	26, 18	sseldd 3238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℂ)
28	26, 20	sseldd 3238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ)
29	11	cnmetdval 15381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)(abs ∘ − )(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
31	25, 30	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) = (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))))
32	31	breq1d 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))
33	16, 32	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
34	33	anassrs 400	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
35	34	ralbidva 2538	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
36	35	rexbidv 2543	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
37	36	ralbidv 2542	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
38	37	ralbidva 2538	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴⟶𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦)))
39	38	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
40		cnxmet 15383	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41		xmetres2 15231	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
42	40, 41	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
43	4, 42	eqeltrid 2319	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴))
44		xmetres2 15231	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
45	40, 44	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
46	21, 45	eqeltrid 2319	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
47		cncfmet.3	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48		cncfmet.4	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
49	47, 48	metcn 15366	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
50	43, 46, 49	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
51		elcncf 15425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓‘𝑥) − (𝑓‘𝑤))) < 𝑦))))
52	39, 50, 51	3bitr4rd 221	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
53	52	eqrdv 2230	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   ⊆ wss 3210   class class class wbr 4108   × cxp 4746   ↾ cres 4750   ∘ ccom 4752  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121   < clt 8304   − cmin 8440  ℝ⁺crp 9982  abscabs 11675  ∞Metcxmet 14671  MetOpencmopn 14676   Cn ccn 15037  –cn→ccncf 15422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-xneg 10101  df-xadd 10102  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-topgen 13462  df-psmet 14678  df-xmet 14679  df-met 14680  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-top 14850  df-topon 14863  df-bases 14895  df-cn 15040  df-cnp 15041  df-cncf 15423

This theorem is referenced by:  cncfcncntop  15445