ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfmet GIF version

Theorem cncfmet 14015
Description: Relate complex function continuity to metric space continuity. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmet.1 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
cncfmet.2 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
cncfmet.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
cncfmet.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmet ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cncfmet
Dummy variables 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝑥𝐴)
3 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝑤𝐴)
4 cncfmet.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
54oveqi 5887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤)
6 ovres 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑤𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
75, 6eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐴𝑤𝐴) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
87ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (𝑥(abs ∘ − )𝑤))
9 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
10 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℂ)
11 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1211cnmetdval 13965 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
139, 10, 12syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
148, 13eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
151, 2, 1, 3, 14syl22anc 1239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑥𝐶𝑤) = (abs‘(𝑥𝑤)))
1615breq1d 4013 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧))
17 ffvelcdm 5649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
1817ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
19 ffvelcdm 5649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝑤𝐴) → (𝑓𝑤) ∈ 𝐵)
2019ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑤) ∈ 𝐵)
21 cncfmet.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))
2221oveqi 5887 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓𝑤))
23 ovres 6013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝑥)((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵))(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
2422, 23eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑓𝑤) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
2518, 20, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)))
26 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2726, 18sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
2826, 20sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (𝑓𝑤) ∈ ℂ)
2911cnmetdval 13965 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3027, 28, 29syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)(abs ∘ − )(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3125, 30eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) = (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))))
3231breq1d 4013 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))
3316, 32imbi12d 234 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑤𝐴)) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3433anassrs 400 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3534ralbidva 2473 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3635rexbidv 2478 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3736ralbidv 2477 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3837ralbidva 2473 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓:𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦)))
3938pm5.32da 452 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))))
40 cnxmet 13967 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
41 xmetres2 13815 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
4240, 41mpan 424 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
434, 42eqeltrid 2264 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴))
44 xmetres2 13815 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
4540, 44mpan 424 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℂ → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ (∞Met‘𝐵))
4621, 45eqeltrid 2264 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℂ → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
47 cncfmet.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
48 cncfmet.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
4947, 48metcn 13950 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦))))
5043, 46, 49syl2an 289 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓𝑥)𝐷(𝑓𝑤)) < 𝑦))))
51 elcncf 13996 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝑓𝑥) − (𝑓𝑤))) < 𝑦))))
5239, 50, 513bitr4rd 221 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5352eqrdv 2175 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) = (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4003   × cxp 4624  cres 4628  ccom 4630  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808   < clt 7991  cmin 8127  +crp 9652  abscabs 11005  ∞Metcxmet 13376  MetOpencmopn 13381   Cn ccn 13621  cnccncf 13993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-cn 13624  df-cnp 13625  df-cncf 13994
This theorem is referenced by:  cncfcncntop  14016
  Copyright terms: Public domain W3C validator