ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blres GIF version
Theorem blres 13937
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
blres ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) = ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ))
Proof of Theorem blres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 3323 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ π‘Œ)
2 blres.2 . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
32oveqi 5888 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐢π‘₯) = (𝑃(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))π‘₯)
4 ovres 6014 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))π‘₯) = (𝑃𝐷π‘₯))
53, 4eqtrid 2222 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃𝐢π‘₯) = (𝑃𝐷π‘₯))
61, 5sylan 283 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑃𝐢π‘₯) = (𝑃𝐷π‘₯))
76breq1d 4014 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅))
87anbi2d 464 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
98pm5.32da 452 . . . . 5 (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅))))
1093ad2ant2 1019 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅))))
11 elin 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
12 ancom 266 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋))
1311, 12bitri 184 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋))
1413anbi1i 458 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅))
15 anass 401 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
1614, 15bitri 184 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
17 ancom 266 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
1810, 16, 173bitr4g 223 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)))
19 xmetres 13885 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
202, 19eqeltrid 2264 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
21 elbl 13894 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
2220, 21syl3an1 1271 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑃𝐢π‘₯) < 𝑅)))
23 elin 3319 . . . 4 (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ))
24 elinel1 3322 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
25 elbl 13894 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
2624, 25syl3an2 1272 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅)))
2726anbi1d 465 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)))
2823, 27bitrid 192 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷π‘₯) < 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ)))
2918, 22, 283bitr4d 220 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) ↔ π‘₯ ∈ ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ)))
3029eqrdv 2175 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑅) = ((𝑃(ballβ€˜π·)𝑅) ∩ π‘Œ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3129   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625   β†Ύ cres 4629  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„*cxr 7991   < clt 7992  βˆžMetcxmet 13443  ballcbl 13445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-bl 13453
This theorem is referenced by:  metrest  14009
  Copyright terms: Public domain W3C validator