Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blres GIF version

Theorem blres 12362
 Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
Assertion
Ref Expression
blres ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 3210 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑃𝑌)
2 blres.2 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
32oveqi 5719 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4 ovres 5842 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑌𝑥𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
53, 4syl5eq 2144 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑌𝑥𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
61, 5sylan 279 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
76breq1d 3885 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
87anbi2d 455 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
98pm5.32da 443 . . . . 5 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
1093ad2ant2 971 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11 elin 3206 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑌))
12 ancom 264 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑥𝑌) ↔ (𝑥𝑌𝑥𝑋))
1311, 12bitri 183 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑌𝑥𝑋))
1413anbi1i 449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥𝑌𝑥𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
15 anass 396 . . . . 5 (((𝑥𝑌𝑥𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
1614, 15bitri 183 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
17 ancom 264 . . . 4 (((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
1810, 16, 173bitr4g 222 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
19 xmetres 12310 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
202, 19syl5eqel 2186 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
21 elbl 12319 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
2220, 21syl3an1 1217 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
23 elin 3206 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑌))
24 elinel1 3209 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑃𝑋)
25 elbl 12319 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
2624, 25syl3an2 1218 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
2726anbi1d 456 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑌) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
2823, 27syl5bb 191 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
2918, 22, 283bitr4d 219 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
3029eqrdv 2098 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   ∩ cin 3020   class class class wbr 3875   × cxp 4475   ↾ cres 4479  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℝ*cxr 7671   < clt 7672  ∞Metcxmet 11931  ballcbl 11933 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-bl 11941 This theorem is referenced by:  metrest  12434
 Copyright terms: Public domain W3C validator