ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blres GIF version

Theorem blres 13228
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
Assertion
Ref Expression
blres ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))

Proof of Theorem blres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel2 3314 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑃𝑌)
2 blres.2 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
32oveqi 5866 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥)
4 ovres 5992 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑌𝑥𝑌) → (𝑃(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
53, 4eqtrid 2215 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑌𝑥𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
61, 5sylan 281 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑃𝐶𝑥) = (𝑃𝐷𝑥))
76breq1d 3999 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝑃𝐶𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
87anbi2d 461 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
98pm5.32da 449 . . . . 5 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
1093ad2ant2 1014 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
11 elin 3310 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑋𝑥𝑌))
12 ancom 264 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑥𝑌) ↔ (𝑥𝑌𝑥𝑋))
1311, 12bitri 183 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ↔ (𝑥𝑌𝑥𝑋))
1413anbi1i 455 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥𝑌𝑥𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅))
15 anass 399 . . . . 5 (((𝑥𝑌𝑥𝑋) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
1614, 15bitri 183 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
17 ancom 264 . . . 4 (((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
1810, 16, 173bitr4g 222 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
19 xmetres 13176 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
202, 19eqeltrid 2257 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
21 elbl 13185 . . . 4 ((𝐶 ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
2220, 21syl3an1 1266 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝑌) ∧ (𝑃𝐶𝑥) < 𝑅)))
23 elin 3310 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑌))
24 elinel1 3313 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑃𝑋)
25 elbl 13185 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
2624, 25syl3an2 1267 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
2726anbi1d 462 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑌) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
2823, 27syl5bb 191 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌) ↔ ((𝑥𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ∧ 𝑥𝑌)))
2918, 22, 283bitr4d 219 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌)))
3029eqrdv 2168 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝑌) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑅) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  cin 3120   class class class wbr 3989   × cxp 4609  cres 4613  cfv 5198  (class class class)co 5853  *cxr 7953   < clt 7954  ∞Metcxmet 12774  ballcbl 12776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-bl 12784
This theorem is referenced by:  metrest  13300
  Copyright terms: Public domain W3C validator