Theorem divcnap 14408

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
divcnap.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})

Assertion

Ref	Expression
divcnap	⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4018	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
2	1	elrab 2905	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
3		divrecap 8659	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
4	3	3expb 1205	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0)) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
6	5	mpoeq3ia 5953	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧)))
7		addcncntop.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8	7	cntoptopon 14385	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
10		divcnap.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
11		ssrab2 3252	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ
12		resttopon 14024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
13	9, 11, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
14	10, 13	eqeltrid 2274	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
15	9, 14	cnmpt1st 14141	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
16	9, 14	cnmpt2nd 14142	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑧) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
17		eqid 2187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) = (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))
18		breq1 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑞 # 0))
19	18	elrab 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0))
20		recclap 8650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0) → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
22	17, 21	fmpti 5681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ
23		breq1 4018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑎 # 0))
24	23	elrab 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0))
25		eqid 2187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2)) = (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2))
26	25	reccn2ap 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0 ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
27	26	3expa 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
29		ovres 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (𝑎(abs ∘ − )𝑤))
30		elrabi 2902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 ∈ ℂ)
31		elrabi 2902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 ∈ ℂ)
32		eqid 2187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
33	32	cnmetdval 14382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑎 − 𝑤)))
34		abssub 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
35	33, 34	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
37	29, 36	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
38	37	breq1d 4025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢))
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 # 0)
40	30, 39	recclapd 8752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
41		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑎))
42	41, 17	fvmptg 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑎) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
43	40, 42	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
44		breq1 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
45	44	elrab 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 # 0)
47	31, 46	recclapd 8752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
48		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑤 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑤))
49	48, 17	fvmptg 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
50	47, 49	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
51	43, 50	oveqan12d 5907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
52	32	cnmetdval 14382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))))
53		abssub 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
54	52, 53	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
56	51, 55	eqtrd 2220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
57	56	breq1d 4025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
59	58	ralbidva 2483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
60	59	rexbidv 2488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))
63	62	rgen2 2573	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)
64		cnxmet 14384	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
65		xmetres2 14232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
66	64, 11, 65	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
67		eqid 2187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) = ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
68		eqid 2187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
69	67, 7, 68	metrest 14359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))))
70	64, 11, 69	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
71	10, 70	eqtri 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
72	71, 7	metcn 14367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))))
73	66, 64, 72	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)))
74	22, 63, 73	mpbir2an 943	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
76		oveq2 5896	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑧))
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 14144	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
78	7	mulcncntop 14407	. . . . 5 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 14148	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
81	80	mptru 1372	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
82	6, 81	eqeltri 2260	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363  ⊤wtru 1364   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466  {crab 2469   ⊆ wss 3141  {cpr 3605   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076   × cxp 4636   ↾ cres 4640   ∘ ccom 4642  ⟶wf 5224  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888   ∈ cmpo 5890  infcinf 6996  ℂcc 7823  ℝcr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   · cmul 7830   < clt 8006   − cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643  2c2 8984  ℝ⁺crp 9667  abscabs 11020   ↾_t crest 12706  ∞Metcxmet 13779  MetOpencmopn 13784  TopOnctopon 13863   Cn ccn 14038   ×_t ctx 14105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13786  df-xmet 13787  df-met 13788  df-bl 13789  df-mopn 13790  df-top 13851  df-topon 13864  df-bases 13896  df-cn 14041  df-cnp 14042  df-tx 14106

This theorem is referenced by: (None)