Theorem divcnap 15668

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
divcnap.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})

Assertion

Ref	Expression
divcnap	⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4133	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
2	1	elrab 2982	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
3		divrecap 9019	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
4	3	3expb 1235	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0)) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
6	5	mpoeq3ia 6153	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧)))
7		addcncntop.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8	7	cntoptopon 15635	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
10		divcnap.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
11		ssrab2 3333	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ
12		resttopon 15274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
13	9, 11, 12	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
14	10, 13	eqeltrid 2325	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
15	9, 14	cnmpt1st 15391	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
16	9, 14	cnmpt2nd 15392	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑧) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
17		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) = (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))
18		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑞 # 0))
19	18	elrab 2982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0))
20		recclap 9010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0) → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
22	17, 21	fmpti 5860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ
23		breq1 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑎 # 0))
24	23	elrab 2982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0))
25		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2)) = (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2))
26	25	reccn2ap 12081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0 ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
27	26	3expa 1234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
29		ovres 6229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (𝑎(abs ∘ − )𝑤))
30		elrabi 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 ∈ ℂ)
31		elrabi 2979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 ∈ ℂ)
32		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
33	32	cnmetdval 15632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑎 − 𝑤)))
34		abssub 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
35	33, 34	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
37	29, 36	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
38	37	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢))
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 # 0)
40	30, 39	recclapd 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
41		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑎))
42	41, 17	fvmptg 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑎) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
43	40, 42	mpdan 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
44		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
45	44	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 # 0)
47	31, 46	recclapd 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
48		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑤 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑤))
49	48, 17	fvmptg 5781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
50	47, 49	mpdan 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
51	43, 50	oveqan12d 6104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
52	32	cnmetdval 15632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))))
53		abssub 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
54	52, 53	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
56	51, 55	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
57	56	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
59	58	ralbidva 2546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
60	59	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))
63	62	rgen2 2636	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)
64		cnxmet 15634	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
65		xmetres2 15482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
66	64, 11, 65	mp2an 430	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
67		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) = ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
68		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
69	67, 7, 68	metrest 15609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))))
70	64, 11, 69	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
71	10, 70	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
72	71, 7	metcn 15617	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))))
73	66, 64, 72	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)))
74	22, 63, 73	mpbir2an 955	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
76		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑧))
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 15394	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
78	7	mulcncntop 15667	. . . . 5 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 15398	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
81	80	mptru 1411	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
82	6, 81	eqeltri 2311	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772   ↾ cres 4776   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  infcinf 7323  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360   − cmin 8497   # cap 8910   / cdiv 9003  2c2 9356  ℝ⁺crp 10056  abscabs 11765   ↾_t crest 13595  ∞Metcxmet 14875  MetOpencmopn 14880  TopOnctopon 15113   Cn ccn 15288   ×_t ctx 15355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-xneg 10176  df-xadd 10177  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-rest 13597  df-topgen 13616  df-psmet 14882  df-xmet 14883  df-met 14884  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-top 15101  df-topon 15114  df-bases 15146  df-cn 15291  df-cnp 15292  df-tx 15356

This theorem is used by: (None)