Theorem divcnap 14885

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
divcnap.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})

Assertion

Ref	Expression
divcnap	⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4037	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
2	1	elrab 2920	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
3		divrecap 8732	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
4	3	3expb 1206	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0)) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
6	5	mpoeq3ia 5991	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧)))
7		addcncntop.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8	7	cntoptopon 14852	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
10		divcnap.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
11		ssrab2 3269	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ
12		resttopon 14491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
13	9, 11, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
14	10, 13	eqeltrid 2283	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
15	9, 14	cnmpt1st 14608	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
16	9, 14	cnmpt2nd 14609	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑧) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
17		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) = (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))
18		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑞 # 0))
19	18	elrab 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0))
20		recclap 8723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0) → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
22	17, 21	fmpti 5717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ
23		breq1 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑎 # 0))
24	23	elrab 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0))
25		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2)) = (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2))
26	25	reccn2ap 11495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0 ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
27	26	3expa 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
29		ovres 6067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (𝑎(abs ∘ − )𝑤))
30		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 ∈ ℂ)
31		elrabi 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 ∈ ℂ)
32		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
33	32	cnmetdval 14849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑎 − 𝑤)))
34		abssub 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
35	33, 34	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
37	29, 36	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
38	37	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢))
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 # 0)
40	30, 39	recclapd 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
41		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑎))
42	41, 17	fvmptg 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑎) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
43	40, 42	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
44		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
45	44	elrab 2920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 # 0)
47	31, 46	recclapd 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
48		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑤 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑤))
49	48, 17	fvmptg 5640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
50	47, 49	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
51	43, 50	oveqan12d 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
52	32	cnmetdval 14849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))))
53		abssub 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
54	52, 53	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
56	51, 55	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
57	56	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
59	58	ralbidva 2493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
60	59	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))
63	62	rgen2 2583	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)
64		cnxmet 14851	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
65		xmetres2 14699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
66	64, 11, 65	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
67		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) = ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
68		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
69	67, 7, 68	metrest 14826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))))
70	64, 11, 69	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
71	10, 70	eqtri 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
72	71, 7	metcn 14834	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))))
73	66, 64, 72	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)))
74	22, 63, 73	mpbir2an 944	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
76		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑧))
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 14611	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
78	7	mulcncntop 14884	. . . . 5 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 14615	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
81	80	mptru 1373	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
82	6, 81	eqeltri 2269	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157  {cpr 3624   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095   × cxp 4662   ↾ cres 4666   ∘ ccom 4668  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  infcinf 7058  ℂcc 7894  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   · cmul 7901   < clt 8078   − cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716  2c2 9058  ℝ⁺crp 9745  abscabs 11179   ↾_t crest 12941  ∞Metcxmet 14168  MetOpencmopn 14173  TopOnctopon 14330   Cn ccn 14505   ×_t ctx 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573

This theorem is referenced by: (None)