ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divcnap GIF version

Theorem divcnap 13991
Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
addcncntop.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
divcnap.k 𝐾 = (𝐽 β†Ύt {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})
Assertion
Ref Expression
divcnap (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧

Proof of Theorem divcnap
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑒 𝑀 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4006 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ # 0 ↔ 𝑧 # 0))
21elrab 2893 . . . 4 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # 0))
3 divrecap 8644 . . . . 5 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # 0) β†’ (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 Β· (1 / 𝑧)))
433expb 1204 . . . 4 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # 0)) β†’ (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 Β· (1 / 𝑧)))
52, 4sylan2b 287 . . 3 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 Β· (1 / 𝑧)))
65mpoeq3ia 5939 . 2 (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) = (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (𝑦 Β· (1 / 𝑧)))
7 addcncntop.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
87cntoptopon 13968 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
98a1i 9 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
10 divcnap.k . . . . 5 𝐾 = (𝐽 β†Ύt {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})
11 ssrab2 3240 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} βŠ† β„‚
12 resttopon 13607 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) ∈ (TopOnβ€˜{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))
139, 11, 12sylancl 413 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝐽 β†Ύt {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) ∈ (TopOnβ€˜{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))
1410, 13eqeltrid 2264 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))
159, 14cnmpt1st 13724 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
169, 14cnmpt2nd 13725 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ 𝑧) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
17 eqid 2177 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)) = (π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))
18 breq1 4006 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘ž β†’ (π‘₯ # 0 ↔ π‘ž # 0))
1918elrab 2893 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↔ (π‘ž ∈ β„‚ ∧ π‘ž # 0))
20 recclap 8635 . . . . . . . . 9 ((π‘ž ∈ β„‚ ∧ π‘ž # 0) β†’ (1 / π‘ž) ∈ β„‚)
2119, 20sylbi 121 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ (1 / π‘ž) ∈ β„‚)
2217, 21fmpti 5668 . . . . . . 7 (π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)):{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}βŸΆβ„‚
23 breq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯ # 0 ↔ π‘Ž # 0))
2423elrab 2893 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ž # 0))
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (inf({1, ((absβ€˜π‘Ž) Β· 𝑏)}, ℝ, < ) Β· ((absβ€˜π‘Ž) / 2)) = (inf({1, ((absβ€˜π‘Ž) Β· 𝑏)}, ℝ, < ) Β· ((absβ€˜π‘Ž) / 2))
2625reccn2ap 11320 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ž # 0 ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏))
27263expa 1203 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ π‘Ž # 0) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏))
2824, 27sylanb 284 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏))
29 ovres 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ (π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) = (π‘Ž(abs ∘ βˆ’ )𝑀))
30 elrabi 2890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
31 elrabi 2890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
32 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
3332cnmetdval 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘Ž(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑀)))
34 abssub 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(π‘Ž βˆ’ 𝑀)) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)))
3533, 34eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (π‘Ž(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)))
3630, 31, 35syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ (π‘Ž(abs ∘ βˆ’ )𝑀) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)))
3729, 36eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ (π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) = (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)))
3837breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒))
3924simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ π‘Ž # 0)
4030, 39recclapd 8737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ (1 / π‘Ž) ∈ β„‚)
41 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž = π‘Ž β†’ (1 / π‘ž) = (1 / π‘Ž))
4241, 17fvmptg 5592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ (1 / π‘Ž) ∈ β„‚) β†’ ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž) = (1 / π‘Ž))
4340, 42mpdan 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž) = (1 / π‘Ž))
44 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ # 0 ↔ 𝑀 # 0))
4544elrab 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↔ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0))
4645simprbi 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ 𝑀 # 0)
4731, 46recclapd 8737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ (1 / 𝑀) ∈ β„‚)
48 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ž = 𝑀 β†’ (1 / π‘ž) = (1 / 𝑀))
4948, 17fvmptg 5592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ (1 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€) = (1 / 𝑀))
5047, 49mpdan 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€) = (1 / 𝑀))
5143, 50oveqan12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) = ((1 / π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)))
5232cnmetdval 13965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ ((1 / π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)) = (absβ€˜((1 / π‘Ž) βˆ’ (1 / 𝑀))))
53 abssub 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((1 / π‘Ž) βˆ’ (1 / 𝑀))) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))))
5452, 53eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / π‘Ž) ∈ β„‚ ∧ (1 / 𝑀) ∈ β„‚) β†’ ((1 / π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))))
5540, 47, 54syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ ((1 / π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )(1 / 𝑀)) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))))
5651, 55eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) = (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))))
5756breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ ((((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏 ↔ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏))
5838, 57imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑀 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) β†’ (((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏) ↔ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏)))
5958ralbidva 2473 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ (βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏) ↔ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏)))
6059rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏)))
6160adantr 276 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ π‘Ž)) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((1 / 𝑀) βˆ’ (1 / π‘Ž))) < 𝑏)))
6228, 61mpbird 167 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏))
6362rgen2 2563 . . . . . . 7 βˆ€π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏)
64 cnxmet 13967 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
65 xmetres2 13815 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})) ∈ (∞Metβ€˜{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))
6664, 11, 65mp2an 426 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})) ∈ (∞Metβ€˜{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})
67 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))
68 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})))
6967, 7, 68metrest 13942 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))))
7064, 11, 69mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β†Ύt {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})))
7110, 70eqtri 2198 . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})))
7271, 7metcn 13950 . . . . . . . 8 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0})) ∈ (∞Metβ€˜{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) β†’ ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)):{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏))))
7366, 64, 72mp2an 426 . . . . . . 7 ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)):{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ((π‘Ž((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} Γ— {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0}))𝑀) < 𝑒 β†’ (((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘Ž)(abs ∘ βˆ’ )((π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž))β€˜π‘€)) < 𝑏)))
7422, 63, 73mpbir2an 942 . . . . . 6 (π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
7574a1i 9 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘ž ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / π‘ž)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
76 oveq2 5882 . . . . 5 (π‘ž = 𝑧 β†’ (1 / π‘ž) = (1 / 𝑧))
779, 14, 16, 14, 75, 76cnmpt21 13727 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
787mulcncntop 13990 . . . . 5 Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
7978a1i 9 . . . 4 (⊀ β†’ Β· ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
809, 14, 15, 77, 79cnmpt22f 13731 . . 3 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (𝑦 Β· (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
8180mptru 1362 . 2 (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (𝑦 Β· (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽)
826, 81eqeltri 2250 1 (𝑦 ∈ β„‚, 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ π‘₯ # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βŠ€wtru 1354   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  {crab 2459   βŠ† wss 3129  {cpr 3593   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   Γ— cxp 4624   β†Ύ cres 4628   ∘ ccom 4630  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  infcinf 6981  β„‚cc 7808  β„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   Β· cmul 7815   < clt 7991   βˆ’ cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  2c2 8969  β„+crp 9652  abscabs 11005   β†Ύt crest 12687  βˆžMetcxmet 13376  MetOpencmopn 13381  TopOnctopon 13446   Cn ccn 13621   Γ—t ctx 13688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-cn 13624  df-cnp 13625  df-tx 13689
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator