Theorem divcnap 15224

Description: Complex number division is a continuous function, when the second argument is apart from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcncntop.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
divcnap.k	⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})

Assertion

Ref	Expression
divcnap	⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧

Proof of Theorem divcnap

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑤 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4085	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
2	1	elrab 2959	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
3		divrecap 8823	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
4	3	3expb 1228	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0)) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
5	2, 4	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑦 / 𝑧) = (𝑦 · (1 / 𝑧)))
6	5	mpoeq3ia 6060	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) = (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧)))
7		addcncntop.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8	7	cntoptopon 15191	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
10		divcnap.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
11		ssrab2 3309	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ
12		resttopon 14830	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
13	9, 11, 12	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
14	10, 13	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
15	9, 14	cnmpt1st 14947	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
16	9, 14	cnmpt2nd 14948	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ 𝑧) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
17		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) = (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))
18		breq1 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑞 # 0))
19	18	elrab 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0))
20		recclap 8814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑞 # 0) → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
21	19, 20	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑞) ∈ ℂ)
22	17, 21	fmpti 5780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ
23		breq1 4085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑎 # 0))
24	23	elrab 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0))
25		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2)) = (inf({1, ((abs‘𝑎) · 𝑏)}, ℝ, < ) · ((abs‘𝑎) / 2))
26	25	reccn2ap 11810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0 ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
27	26	3expa 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑎 # 0) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
28	24, 27	sylanb 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
29		ovres 6136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (𝑎(abs ∘ − )𝑤))
30		elrabi 2956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 ∈ ℂ)
31		elrabi 2956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 ∈ ℂ)
32		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
33	32	cnmetdval 15188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑎 − 𝑤)))
34		abssub 11598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑎 − 𝑤)) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
35	33, 34	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
36	30, 31, 35	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎(abs ∘ − )𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
37	29, 36	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) = (abs‘(𝑤 − 𝑎)))
38	37	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢))
39	24	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑎 # 0)
40	30, 39	recclapd 8916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑎) ∈ ℂ)
41		oveq2 6002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑎))
42	41, 17	fvmptg 5703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑎) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
43	40, 42	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎) = (1 / 𝑎))
44		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
45	44	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
46	45	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → 𝑤 # 0)
47	31, 46	recclapd 8916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (1 / 𝑤) ∈ ℂ)
48		oveq2 6002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑤 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑤))
49	48, 17	fvmptg 5703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
50	47, 49	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤) = (1 / 𝑤))
51	43, 50	oveqan12d 6013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)))
52	32	cnmetdval 15188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))))
53		abssub 11598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → (abs‘((1 / 𝑎) − (1 / 𝑤))) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
54	52, 53	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑎) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℂ) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
55	40, 47, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((1 / 𝑎)(abs ∘ − )(1 / 𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
56	51, 55	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) = (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))))
57	56	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏 ↔ (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏))
58	38, 57	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
59	58	ralbidva 2526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
60	59	rexbidv 2531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((abs‘(𝑤 − 𝑎)) < 𝑢 → (abs‘((1 / 𝑤) − (1 / 𝑎))) < 𝑏)))
62	28, 61	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))
63	62	rgen2 2616	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)
64		cnxmet 15190	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
65		xmetres2 15038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
66	64, 11, 65	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
67		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) = ((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))
68		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
69	67, 7, 68	metrest 15165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))))
70	64, 11, 69	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ↾t {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
71	10, 70	eqtri 2250	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})))
72	71, 7	metcn 15173	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) ∈ (∞Met‘{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏))))
73	66, 64, 72	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ↔ ((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)):{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}⟶ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}∀𝑏 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ((𝑎((abs ∘ − ) ↾ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} × {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}))𝑤) < 𝑢 → (((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑎)(abs ∘ − )((𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞))‘𝑤)) < 𝑏)))
74	22, 63, 73	mpbir2an 948	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
75	74	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑞 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑞)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
76		oveq2 6002	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑧 → (1 / 𝑞) = (1 / 𝑧))
77	9, 14, 16, 14, 75, 76	cnmpt21 14950	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (1 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
78	7	mulcncntop 15223	. . . . 5 ⊢ · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
80	9, 14, 15, 77, 79	cnmpt22f 14954	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽))
81	80	mptru 1404	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 · (1 / 𝑧))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)
82	6, 81	eqeltri 2302	1 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ, 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↦ (𝑦 / 𝑧)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   class class class wbr 4082   ↦ cmpt 4144   × cxp 4714   ↾ cres 4718   ∘ ccom 4720  ⟶wf 5310  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994   ∈ cmpo 5996  infcinf 7138  ℂcc 7985  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   · cmul 7992   < clt 8169   − cmin 8305   # cap 8716   / cdiv 8807  2c2 9149  ℝ⁺crp 9837  abscabs 11494   ↾_t crest 13258  ∞Metcxmet 14485  MetOpencmopn 14490  TopOnctopon 14669   Cn ccn 14844   ×_t ctx 14911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-map 6787  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-rest 13260  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-top 14657  df-topon 14670  df-bases 14702  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912

This theorem is referenced by: (None)