Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elq GIF version

Theorem elq 9461
 Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq
StepHypRef Expression
1 df-q 9459 . . . 4 ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
21eleq2i 2207 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3 resima 4861 . . . 4 (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
43eleq2i 2207 . . 3 (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
5 divfnzn 9460 . . . 4 ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
6 ssid 3123 . . . 4 (ℤ × ℕ) ⊆ (ℤ × ℕ)
7 ovelimab 5930 . . . 4 ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℤ × ℕ)) → (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦)))
85, 6, 7mp2an 423 . . 3 (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦))
92, 4, 83bitr2i 207 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦))
10 ovres 5919 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
1110eqeq2d 2152 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12112rexbiia 2455 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
139, 12bitri 183 1 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3077   × cxp 4546   ↾ cres 4550   “ cima 4551   Fn wfn 5127  (class class class)co 5783   / cdiv 8476  ℕcn 8764  ℤcz 9098  ℚcq 9458 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-z 9099  df-q 9459 This theorem is referenced by:  qmulz  9462  znq  9463  qre  9464  zq  9465  qaddcl  9474  qnegcl  9475  qmulcl  9476  qapne  9478  qreccl  9481  elpq  9487  qtri3or  10071  eirrap  11540  qredeu  11834  sqrt2irr  11896  sqrt2irrap  11914  logbgcd1irrap  13115
 Copyright terms: Public domain W3C validator