Theorem elq 10032

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 10030	. . . 4 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
2	1	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3		resima 5096	. . . 4 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
4	3	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
5		divfnzn 10031	. . . 4 ⊢ ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
6		ssid 3268	. . . 4 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℤ × ℕ)
7		ovelimab 6240	. . . 4 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℤ × ℕ)) → (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦)))
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦))
9	2, 4, 8	3bitr2i 208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦))
10		ovres 6229	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
11	10	eqeq2d 2250	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	2rexbiia 2566	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13	9, 12	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   × cxp 4772   ↾ cres 4776   “ cima 4777   Fn wfn 5372  (class class class)co 6085   / cdiv 9005  ℕcn 9307  ℤcz 9649  ℚcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by:  qmulz  10033  znq  10034  qre  10035  zq  10036  qaddcl  10045  qnegcl  10046  qmulcl  10047  qapne  10049  qreccl  10052  elpq  10060  qtri3or  10686  eirrap  12564  qredeu  12894  sqrt2irr  12960  sqrt2irrap  12979  pceu  13097  pcqmul  13105  pcqcl  13108  pcneg  13127  pcz  13134  pcadd  13142  logbgcd1irrap  16167