Theorem elq 9316

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 9314	. . . 4 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
2	1	eleq2i 2181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3		resima 4810	. . . 4 ⊢ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) = ( / “ (ℤ × ℕ))
4	3	eleq2i 2181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
5		divfnzn 9315	. . . 4 ⊢ ( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ)
6		ssid 3083	. . . 4 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℤ × ℕ)
7		ovelimab 5875	. . . 4 ⊢ ((( / ↾ (ℤ × ℕ)) Fn (ℤ × ℕ) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℤ × ℕ)) → (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦)))
8	5, 6, 7	mp2an 420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (( / ↾ (ℤ × ℕ)) “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦))
9	2, 4, 8	3bitr2i 207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦))
10		ovres 5864	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) = (𝑥 / 𝑦))
11	10	eqeq2d 2126	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
12	11	2rexbiia 2425	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥( / ↾ (ℤ × ℕ))𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13	9, 12	bitri 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∃wrex 2391   ⊆ wss 3037   × cxp 4497   ↾ cres 4501   “ cima 4502   Fn wfn 5076  (class class class)co 5728   / cdiv 8345  ℕcn 8630  ℤcz 8958  ℚcq 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-z 8959  df-q 9314

This theorem is referenced by:  qmulz  9317  znq  9318  qre  9319  zq  9320  qaddcl  9329  qnegcl  9330  qmulcl  9331  qapne  9333  qreccl  9336  qtri3or  9913  eirrap  11332  qredeu  11624  sqrt2irr  11686  sqrt2irrap  11703