Theorem xrmnfdc 9935

Description: An extended real is or is not minus infinity. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmnfdc	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)

Proof of Theorem xrmnfdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9868	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		renemnf 8092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
3	2	neneqd 2388	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4	3	olcd 735	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
5		df-dc 836	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 = -∞ ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → DECID 𝐴 = -∞)
7		pnfnemnf 8098	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
8	7	neii 2369	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ = -∞
9		eqeq1 2203	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
10	8, 9	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
11	10	olcd 735	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
12	11, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → DECID 𝐴 = -∞)
13		orc 713	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
14	13, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → DECID 𝐴 = -∞)
15	6, 12, 14	3jaoi 1314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → DECID 𝐴 = -∞)
16	1, 15	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075  -∞cmnf 8076  ℝ^*cxr 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082

This theorem is referenced by:  xaddf  9936  xaddval  9937  xaddmnf1  9940  xaddcom  9953  xnegdi  9960  xpncan  9963  xleadd1a  9965  xsubge0  9973  xrmaxiflemcl  11427  xrmaxifle  11428  xrmaxiflemab  11429  xrmaxiflemlub  11430  xrmaxiflemcom  11431  xrmaxadd  11443