Theorem xrmnfdc 10078

Description: An extended real is or is not minus infinity. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmnfdc	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)

Proof of Theorem xrmnfdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 10011	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		renemnf 8228	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
3	2	neneqd 2423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4	3	olcd 741	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
5		df-dc 842	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 = -∞ ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → DECID 𝐴 = -∞)
7		pnfnemnf 8234	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
8	7	neii 2404	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ = -∞
9		eqeq1 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
10	8, 9	mtbiri 681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
11	10	olcd 741	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
12	11, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → DECID 𝐴 = -∞)
13		orc 719	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
14	13, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → DECID 𝐴 = -∞)
15	6, 12, 14	3jaoi 1339	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → DECID 𝐴 = -∞)
16	1, 15	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ℝcr 8031  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218

This theorem is referenced by:  xaddf  10079  xaddval  10080  xaddmnf1  10083  xaddcom  10096  xnegdi  10103  xpncan  10106  xleadd1a  10108  xsubge0  10116  xrmaxiflemcl  11810  xrmaxifle  11811  xrmaxiflemab  11812  xrmaxiflemlub  11813  xrmaxiflemcom  11814  xrmaxadd  11826