ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmnfdc GIF version

Theorem xrmnfdc 9594
Description: An extended real is or is not minus infinity. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmnfdc (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)

Proof of Theorem xrmnfdc
StepHypRef Expression
1 elxr 9531 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 renemnf 7782 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
32neneqd 2306 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
43olcd 708 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
5 df-dc 805 . . . 4 (DECID 𝐴 = -∞ ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
64, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → DECID 𝐴 = -∞)
7 pnfnemnf 7788 . . . . . . 7 +∞ ≠ -∞
87neii 2287 . . . . . 6 ¬ +∞ = -∞
9 eqeq1 2124 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
108, 9mtbiri 649 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
1110olcd 708 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
1211, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 = +∞ → DECID 𝐴 = -∞)
13 orc 686 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
1413, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 = -∞ → DECID 𝐴 = -∞)
156, 12, 143jaoi 1266 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → DECID 𝐴 = -∞)
161, 15sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 682  DECID wdc 804  w3o 946   = wceq 1316  wcel 1465  cr 7587  +∞cpnf 7765  -∞cmnf 7766  *cxr 7767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772
This theorem is referenced by:  xaddf  9595  xaddval  9596  xaddmnf1  9599  xaddcom  9612  xnegdi  9619  xpncan  9622  xleadd1a  9624  xsubge0  9632  xrmaxiflemcl  10982  xrmaxifle  10983  xrmaxiflemab  10984  xrmaxiflemlub  10985  xrmaxiflemcom  10986  xrmaxadd  10998
  Copyright terms: Public domain W3C validator