ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmnfdc GIF version

Theorem xrmnfdc 9655
Description: An extended real is or is not minus infinity. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmnfdc (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)

Proof of Theorem xrmnfdc
StepHypRef Expression
1 elxr 9592 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 renemnf 7837 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
32neneqd 2330 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
43olcd 724 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
5 df-dc 821 . . . 4 (DECID 𝐴 = -∞ ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
64, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → DECID 𝐴 = -∞)
7 pnfnemnf 7843 . . . . . . 7 +∞ ≠ -∞
87neii 2311 . . . . . 6 ¬ +∞ = -∞
9 eqeq1 2147 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
108, 9mtbiri 665 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
1110olcd 724 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
1211, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 = +∞ → DECID 𝐴 = -∞)
13 orc 702 . . . 4 (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
1413, 5sylibr 133 . . 3 (𝐴 = -∞ → DECID 𝐴 = -∞)
156, 12, 143jaoi 1282 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → DECID 𝐴 = -∞)
161, 15sylbi 120 1 (𝐴 ∈ ℝ*DECID 𝐴 = -∞)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 698  DECID wdc 820  w3o 962   = wceq 1332  wcel 1481  cr 7642  +∞cpnf 7820  -∞cmnf 7821  *cxr 7822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-uni 3744  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827
This theorem is referenced by:  xaddf  9656  xaddval  9657  xaddmnf1  9660  xaddcom  9673  xnegdi  9680  xpncan  9683  xleadd1a  9685  xsubge0  9693  xrmaxiflemcl  11045  xrmaxifle  11046  xrmaxiflemab  11047  xrmaxiflemlub  11048  xrmaxiflemcom  11049  xrmaxadd  11061
  Copyright terms: Public domain W3C validator