Theorem xrmnfdc 10027

Description: An extended real is or is not minus infinity. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmnfdc	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)

Proof of Theorem xrmnfdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 9960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		renemnf 8183	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
3	2	neneqd 2421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4	3	olcd 739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
5		df-dc 840	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐴 = -∞ ↔ (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → DECID 𝐴 = -∞)
7		pnfnemnf 8189	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ -∞
8	7	neii 2402	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ = -∞
9		eqeq1 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ +∞ = -∞))
10	8, 9	mtbiri 679	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
11	10	olcd 739	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
12	11, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → DECID 𝐴 = -∞)
13		orc 717	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ∨ ¬ 𝐴 = -∞))
14	13, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → DECID 𝐴 = -∞)
15	6, 12, 14	3jaoi 1337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → DECID 𝐴 = -∞)
16	1, 15	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → DECID 𝐴 = -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ℝcr 7986  +∞cpnf 8166  -∞cmnf 8167  ℝ^*cxr 8168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173

This theorem is referenced by:  xaddf  10028  xaddval  10029  xaddmnf1  10032  xaddcom  10045  xnegdi  10052  xpncan  10055  xleadd1a  10057  xsubge0  10065  xrmaxiflemcl  11742  xrmaxifle  11743  xrmaxiflemab  11744  xrmaxiflemlub  11745  xrmaxiflemcom  11746  xrmaxadd  11758