Theorem icc0r 9928

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icc0r	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))

Proof of Theorem icc0r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletr 9810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
2	1	3com23 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
4	3	rexlimdva 2594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
5		xrlenlt 8024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6	4, 5	sylibd 149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	6	con2d 624	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
8		iccval 9922	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)})
9	8	eqeq1d 2186	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅))
10		rabeq0 3454	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
11		ralnex 2465	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
12	10, 11	bitri 184	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
13	9, 12	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
14	7, 13	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459  ∅c0 3424   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℝ^*cxr 7993   < clt 7994   ≤ cle 7995  [,]cicc 9893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-icc 9897

This theorem is referenced by: (None)