Theorem icc0r 10061

Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
icc0r	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))

Proof of Theorem icc0r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletr 9943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
2	1	3com23 1212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	3expa 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
4	3	rexlimdva 2624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵))
5		xrlenlt 8150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
6	4, 5	sylibd 149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	6	con2d 625	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
8		iccval 10055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)})
9	8	eqeq1d 2215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅))
10		rabeq0 3492	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
11		ralnex 2495	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
12	10, 11	bitri 184	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
13	9, 12	bitrdi 196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
14	7, 13	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  {crab 2489  ∅c0 3462   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℝ^*cxr 8119   < clt 8120   ≤ cle 8121  [,]cicc 10026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-icc 10030

This theorem is referenced by: (None)