ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icc0r GIF version

Theorem icc0r 9239
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
icc0r ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))

Proof of Theorem icc0r
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrletr 9168 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
213com23 1145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
323expa 1139 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
43rexlimdva 2483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
5 xrlenlt 7454 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
64, 5sylibd 147 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
76con2d 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8 iccval 9233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)})
98eqeq1d 2091 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
10 rabeq0 3295 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
11 ralnex 2363 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
1210, 11bitri 182 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
139, 12syl6bb 194 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
147, 13sylibrd 167 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  {crab 2357  c0 3269   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  *cxr 7424   < clt 7425  cle 7426  [,]cicc 9204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-icc 9208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator