ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icc0r GIF version

Theorem icc0r 9723
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
icc0r ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))

Proof of Theorem icc0r
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrletr 9605 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
213com23 1187 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
323expa 1181 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
43rexlimdva 2549 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
5 xrlenlt 7843 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
64, 5sylibd 148 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
76con2d 613 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8 iccval 9717 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)})
98eqeq1d 2148 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
10 rabeq0 3392 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
11 ralnex 2426 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
1210, 11bitri 183 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
139, 12syl6bb 195 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
147, 13sylibrd 168 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  {crab 2420  c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  *cxr 7813   < clt 7814  cle 7815  [,]cicc 9688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-icc 9692
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator