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Theorem phiprmpw 11927
Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 11820 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 9006 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 10335 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2an 287 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
5 phival 11918 . . 3 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
64, 5syl 14 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
7 nnm1nn0 9040 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 10335 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
91, 7, 8syl2an 287 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
109nncnd 8756 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
111nncnd 8756 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
1211adantr 274 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13 ax-1cn 7735 . . . . 5 1 ∈ ℂ
14 subdi 8169 . . . . 5 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1513, 14mp3an3 1305 . . . 4 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1610, 12, 15syl2anc 409 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1710mulid1d 7805 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
1817oveq2d 5796 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19 phivalfi 11917 . . . . . . 7 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin)
204, 19syl 14 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin)
21 1zzd 9103 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
22 prmz 11821 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
23 zexpcl 10337 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
2422, 2, 23syl2an 287 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
2521, 24fzfigd 10233 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin)
2622ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
27 elfzelz 9835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2827adantl 275 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 𝑥 ∈ ℤ)
29 0zd 9088 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 0 ∈ ℤ)
3028, 29zsubcld 9200 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑥 − 0) ∈ ℤ)
31 zdvdsdc 11543 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 0) ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
3226, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
3332ralrimiva 2508 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
3425, 33ssfirab 6828 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
35 inrab 3351 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
36 rpexp 11860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3722, 36syl3an1 1250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
38373expa 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3938an32s 558 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
40 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
4124adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
42 gcdcom 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
4340, 41, 42syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
4443eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1))
45 coprm 11851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
4645adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
4739, 44, 463bitr4d 219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃𝑥))
48 zcn 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
4948adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5049subid1d 8084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
5150breq2d 3947 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃𝑥))
5251notbid 657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃𝑥))
5347, 52bitr4d 190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5427, 53sylan2 284 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5554biimpd 143 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
56 imnan 680 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5755, 56sylib 121 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5857ralrimiva 2508 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
59 rabeq0 3395 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6058, 59sylibr 133 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
6135, 60syl5eq 2185 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
62 hashun 10581 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
6320, 34, 61, 62syl3anc 1217 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
64 unrab 3350 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
6554biimprd 157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1))
66 con1dc 842 . . . . . . . . . . . 12 (DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → ((¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
6732, 65, 66sylc 62 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6824adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
6928, 68gcdcld 11686 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) ∈ ℕ0)
7069nn0zd 9193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) ∈ ℤ)
71 1zzd 9103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 1 ∈ ℤ)
72 zdceq 9148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1)
7370, 71, 72syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → DECID (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1)
74 dfordc 878 . . . . . . . . . . . 12 (DECID (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
7667, 75mpbird 166 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
7776ralrimiva 2508 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
78 rabid2 2610 . . . . . . . . 9 ((1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
7977, 78sylibr 133 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
8064, 79eqtr4id 2192 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃𝐾)))
8180fveq2d 5431 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (♯‘(1...(𝑃𝐾))))
824nnnn0d 9052 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ0)
83 hashfz1 10559 . . . . . . 7 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
8482, 83syl 14 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
85 expm1t 10350 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
8611, 85sylan 281 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
8781, 84, 863eqtrd 2177 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
88 hashcl 10557 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
8920, 88syl 14 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
9089nn0cnd 9054 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
911adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
92 nn0uz 9382 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
93 1m1e0 8811 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
9493fveq2i 5430 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
9592, 94eqtr4i 2164 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘(1 − 1))
9682, 95eleqtrdi 2233 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
97 0zd 9088 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
9891, 21, 96, 97hashdvds 11926 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
994nncnd 8756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℂ)
10099subid1d 8084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃𝐾) − 0) = (𝑃𝐾))
101100oveq1d 5795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
10291nnap0d 8788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 # 0)
103 nnz 9095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
104103adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
10512, 102, 104expm1apd 10463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
106101, 105eqtr4d 2176 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
107106fveq2d 5431 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
1089nnzd 9194 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
109 flid 10086 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
110108, 109syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
111107, 110eqtrd 2173 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
11293oveq1i 5790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
113 0m0e0 8854 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 0) = 0
114112, 113eqtri 2161 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1) − 0) = 0
115114oveq1i 5790 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
11612, 102div0apd 8569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
117115, 116syl5eq 2185 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
118117fveq2d 5431 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
119 0z 9087 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
120 flid 10086 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
121119, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (⌊‘0) = 0
122118, 121eqtrdi 2189 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
123111, 122oveq12d 5798 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
12410subid1d 8084 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
12598, 123, 1243eqtrd 2177 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
126125oveq2d 5796 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
12790, 10, 126comraddd 7941 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
12863, 87, 1273eqtr3rd 2182 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
12910, 12mulcld 7808 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
130129, 10, 90subaddd 8113 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
131128, 130mpbird 166 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
13216, 18, 1313eqtrrd 2178 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
1336, 132eqtrd 2173 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  {crab 2421  cun 3072  cin 3073  c0 3366   class class class wbr 3935  cfv 5129  (class class class)co 5780  Fincfn 6640  cc 7640  0cc0 7642  1c1 7643   + caddc 7645   · cmul 7647  cmin 7955   / cdiv 8454  cn 8742  0cn0 8999  cz 9076  cuz 9348  ...cfz 9819  cfl 10070  cexp 10321  chash 10551  cdvds 11522   gcd cgcd 11664  cprime 11817  ϕcphi 11915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-mulrcl 7741  ax-addcom 7742  ax-mulcom 7743  ax-addass 7744  ax-mulass 7745  ax-distr 7746  ax-i2m1 7747  ax-0lt1 7748  ax-1rid 7749  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-precex 7752  ax-cnre 7753  ax-pre-ltirr 7754  ax-pre-ltwlin 7755  ax-pre-lttrn 7756  ax-pre-apti 7757  ax-pre-ltadd 7758  ax-pre-mulgt0 7759  ax-pre-mulext 7760  ax-arch 7761  ax-caucvg 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-if 3478  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-iord 4294  df-on 4296  df-ilim 4297  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-riota 5736  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-irdg 6273  df-frec 6294  df-1o 6319  df-2o 6320  df-oadd 6323  df-er 6435  df-en 6641  df-dom 6642  df-fin 6643  df-sup 6877  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-sub 7957  df-neg 7958  df-reap 8359  df-ap 8366  df-div 8455  df-inn 8743  df-2 8801  df-3 8802  df-4 8803  df-n0 9000  df-z 9077  df-uz 9349  df-q 9437  df-rp 9469  df-fz 9820  df-fzo 9949  df-fl 10072  df-mod 10125  df-seqfrec 10248  df-exp 10322  df-ihash 10552  df-cj 10644  df-re 10645  df-im 10646  df-rsqrt 10800  df-abs 10801  df-dvds 11523  df-gcd 11665  df-prm 11818  df-phi 11916
This theorem is referenced by:  phiprm  11928
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