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Theorem phiprmpw 10978
Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 10872 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 8572 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 9805 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2an 283 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
5 phival 10969 . . 3 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
64, 5syl 14 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
7 nnm1nn0 8606 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 9805 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
91, 7, 8syl2an 283 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
109nncnd 8330 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
111nncnd 8330 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
1211adantr 270 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13 ax-1cn 7341 . . . . 5 1 ∈ ℂ
14 subdi 7766 . . . . 5 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1513, 14mp3an3 1258 . . . 4 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1610, 12, 15syl2anc 403 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1710mulid1d 7408 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
1817oveq2d 5607 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19 phivalfi 10968 . . . . . . 7 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin)
204, 19syl 14 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin)
21 1zzd 8673 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
22 prmz 10873 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
23 zexpcl 9807 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
2422, 2, 23syl2an 283 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
2521, 24fzfigd 9727 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin)
2622ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
27 elfzelz 9335 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2827adantl 271 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 𝑥 ∈ ℤ)
29 0zd 8658 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 0 ∈ ℤ)
3028, 29zsubcld 8769 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑥 − 0) ∈ ℤ)
31 zdvdsdc 10597 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 0) ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
3226, 30, 31syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
3332ralrimiva 2440 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
3425, 33ssfirab 6568 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
35 inrab 3254 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
36 rpexp 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3722, 36syl3an1 1203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
38373expa 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3938an32s 533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
40 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
4124adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
42 gcdcom 10745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
4340, 41, 42syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
4443eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1))
45 coprm 10903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
4645adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
4739, 44, 463bitr4d 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃𝑥))
48 zcn 8651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
4948adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5049subid1d 7685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
5150breq2d 3823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃𝑥))
5251notbid 625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃𝑥))
5347, 52bitr4d 189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5427, 53sylan2 280 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5554biimpd 142 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
56 imnan 657 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5755, 56sylib 120 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
5857ralrimiva 2440 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
59 rabeq0 3295 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6058, 59sylibr 132 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
6135, 60syl5eq 2127 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
62 hashun 10048 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
6320, 34, 61, 62syl3anc 1170 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
6454biimprd 156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1))
65 con1dc 787 . . . . . . . . . . . 12 (DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → ((¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
6632, 64, 65sylc 61 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6724adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
6828, 67gcdcld 10740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) ∈ ℕ0)
6968nn0zd 8762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) ∈ ℤ)
70 1zzd 8673 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → 1 ∈ ℤ)
71 zdceq 8718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1)
7269, 70, 71syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → DECID (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1)
73 dfordc 825 . . . . . . . . . . . 12 (DECID (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
7566, 74mpbird 165 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
7675ralrimiva 2440 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
77 rabid2 2536 . . . . . . . . 9 ((1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
7876, 77sylibr 132 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
79 unrab 3253 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
8078, 79syl6reqr 2134 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃𝐾)))
8180fveq2d 5257 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (♯‘(1...(𝑃𝐾))))
824nnnn0d 8618 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ0)
83 hashfz1 10026 . . . . . . 7 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
8482, 83syl 14 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
85 expm1t 9820 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
8611, 85sylan 277 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
8781, 84, 863eqtrd 2119 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
88 hashcl 10024 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
8920, 88syl 14 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
9089nn0cnd 8620 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
911adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
92 nn0uz 8948 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
93 1m1e0 8385 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
9493fveq2i 5256 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
9592, 94eqtr4i 2106 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘(1 − 1))
9682, 95syl6eleq 2175 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
97 0zd 8658 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
9891, 21, 96, 97hashdvds 10977 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
994nncnd 8330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℂ)
10099subid1d 7685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃𝐾) − 0) = (𝑃𝐾))
101100oveq1d 5606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
10291nnap0d 8361 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 # 0)
103 nnz 8665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
104103adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
10512, 102, 104expm1apd 9931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
106101, 105eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
107106fveq2d 5257 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
1089nnzd 8763 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
109 flid 9580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
110108, 109syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
111107, 110eqtrd 2115 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
11293oveq1i 5601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
113 0m0e0 8428 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 0) = 0
114112, 113eqtri 2103 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1) − 0) = 0
115114oveq1i 5601 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
11612, 102div0apd 8152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
117115, 116syl5eq 2127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
118117fveq2d 5257 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
119 0z 8657 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
120 flid 9580 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
121119, 120ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (⌊‘0) = 0
122118, 121syl6eq 2131 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
123111, 122oveq12d 5609 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
12410subid1d 7685 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
12598, 123, 1243eqtrd 2119 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
126125oveq2d 5607 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
12790, 10, 126comraddd 7542 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
12863, 87, 1273eqtr3rd 2124 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
12910, 12mulcld 7411 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
130129, 10, 90subaddd 7714 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
131128, 130mpbird 165 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
13216, 18, 1313eqtrrd 2120 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
1336, 132eqtrd 2115 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  {crab 2357  cun 2982  cin 2983  c0 3269   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  Fincfn 6387  cc 7251  0cc0 7253  1c1 7254   + caddc 7256   · cmul 7258  cmin 7556   / cdiv 8037  cn 8316  0cn0 8565  cz 8646  cuz 8914  ...cfz 9319  cfl 9564  cexp 9791  chash 10018  cdvds 10576   gcd cgcd 10718  cprime 10869  ϕcphi 10966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-frec 6088  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-er 6222  df-en 6388  df-dom 6389  df-fin 6390  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-ihash 10019  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719  df-prm 10870  df-phi 10967
This theorem is referenced by:  phiprm  10979
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