Theorem phiprmpw 11737

Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phiprmpw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 11631	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 8882	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 10193	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 285	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		phival 11728	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
7		nnm1nn0 8916	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8		nnexpcl 10193	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
9	1, 7, 8	syl2an 285	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 8638	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
11	1	nncnd 8638	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	adantr 272	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 7632	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		subdi 8060	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
15	13, 14	mp3an3 1285	. . . 4 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
16	10, 12, 15	syl2anc 406	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
17	10	mulid1d 7701	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
18	17	oveq2d 5742	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19		phivalfi 11727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin)
20	4, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin)
21		1zzd 8979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
22		prmz 11632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
23		zexpcl 10195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
24	22, 2, 23	syl2an 285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
25	21, 24	fzfigd 10091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃↑𝐾)) ∈ Fin)
26	22	ad2antrr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
27		elfzelz 9693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	27	adantl 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 𝑥 ∈ ℤ)
29		0zd 8964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 0 ∈ ℤ)
30	28, 29	zsubcld 9076	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 − 0) ∈ ℤ)
31		zdvdsdc 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 0) ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
33	32	ralrimiva 2477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
34	25, 33	ssfirab 6772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
35		inrab 3312	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
36		rpexp 11671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
37	22, 36	syl3an1 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
38	37	3expa 1162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
39	38	an32s 540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
40		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
41	24	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
42		gcdcom 11504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥))
43	40, 41, 42	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥))
44	43	eqeq1d 2121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1))
45		coprm 11662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
46	45	adantlr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
47	39, 44, 46	3bitr4d 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
48		zcn 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
49	48	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	49	subid1d 7979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
51	50	breq2d 3905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
52	51	notbid 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
53	47, 52	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
54	27, 53	sylan2 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
55	54	biimpd 143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
56		imnan 662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
57	55, 56	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
58	57	ralrimiva 2477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
59		rabeq0 3356	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
60	58, 59	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
61	35, 60	syl5eq 2157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
62		hashun 10438	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
63	20, 34, 61, 62	syl3anc 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
64	54	biimprd 157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1))
65		con1dc 822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → ((¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
66	32, 64, 65	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
67	24	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
68	28, 67	gcdcld 11499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℕ0)
69	68	nn0zd 9069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℤ)
70		1zzd 8979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 1 ∈ ℤ)
71		zdceq 9024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1)
72	69, 70, 71	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1)
73		dfordc 858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
75	66, 74	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
76	75	ralrimiva 2477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
77		rabid2 2579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
78	76, 77	sylibr 133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
79		unrab 3311	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
80	78, 79	syl6reqr 2164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃↑𝐾)))
81	80	fveq2d 5377	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))))
82	4	nnnn0d 8928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0)
83		hashfz1 10416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
84	82, 83	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
85		expm1t 10208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
86	11, 85	sylan 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
87	81, 84, 86	3eqtrd 2149	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
88		hashcl 10414	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
89	20, 88	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
90	89	nn0cnd 8930	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
91	1	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
92		nn0uz 9256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
93		1m1e0 8693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
94	93	fveq2i 5376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
95	92, 94	eqtr4i 2136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
96	82, 95	syl6eleq 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
97		0zd 8964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
98	91, 21, 96, 97	hashdvds 11736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
99	4	nncnd 8638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℂ)
100	99	subid1d 7979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝐾) − 0) = (𝑃↑𝐾))
101	100	oveq1d 5741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
102	91	nnap0d 8670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 # 0)
103		nnz 8971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
104	103	adantl 273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
105	12, 102, 104	expm1apd 10321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
106	101, 105	eqtr4d 2148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
107	106	fveq2d 5377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
108	9	nnzd 9070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
109		flid 9944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
111	107, 110	eqtrd 2145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
112	93	oveq1i 5736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
113		0m0e0 8736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
114	112, 113	eqtri 2133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) − 0) = 0
115	114	oveq1i 5736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
116	12, 102	div0apd 8454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
117	115, 116	syl5eq 2157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
118	117	fveq2d 5377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
119		0z 8963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
120		flid 9944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
121	119, 120	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘0) = 0
122	118, 121	syl6eq 2161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
123	111, 122	oveq12d 5744	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
124	10	subid1d 7979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
125	98, 123, 124	3eqtrd 2149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
126	125	oveq2d 5742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
127	90, 10, 126	comraddd 7836	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})))
128	63, 87, 127	3eqtr3rd 2154	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
129	10, 12	mulcld 7704	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
130	129, 10, 90	subaddd 8008	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
131	128, 130	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
132	16, 18, 131	3eqtrrd 2150	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
133	6, 132	eqtrd 2145	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ∀wral 2388  {crab 2392   ∪ cun 3033   ∩ cin 3034  ∅c0 3327   class class class wbr 3893  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726  Fincfn 6586  ℂcc 7539  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   · cmul 7546   − cmin 7850   / cdiv 8339  ℕcn 8624  ℕ₀cn0 8875  ℤcz 8952  ℤ_≥cuz 9222  ...cfz 9677  ⌊cfl 9928  ↑cexp 10179  ♯chash 10408   ∥ cdvds 11335   gcd cgcd 11477  ℙcprime 11628  ϕcphi 11725

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-irdg 6219  df-frec 6240  df-1o 6265  df-2o 6266  df-oadd 6269  df-er 6381  df-en 6587  df-dom 6588  df-fin 6589  df-sup 6821  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-q 9308  df-rp 9338  df-fz 9678  df-fzo 9807  df-fl 9930  df-mod 9983  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-ihash 10409  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657  df-dvds 11336  df-gcd 11478  df-prm 11629  df-phi 11726

This theorem is referenced by:  phiprm  11738