Theorem phiprmpw 12417

Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phiprmpw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12305	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 9275	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 10663	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		phival 12408	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
7		nnm1nn0 9309	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8		nnexpcl 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
9	1, 7, 8	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 9023	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
11	1	nncnd 9023	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 7991	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		subdi 8430	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
15	13, 14	mp3an3 1337	. . . 4 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
16	10, 12, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
17	10	mulridd 8062	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
18	17	oveq2d 5941	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19		phivalfi 12407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin)
20	4, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin)
21		1zzd 9372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
22		prmz 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
23		zexpcl 10665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
24	22, 2, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
25	21, 24	fzfigd 10542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃↑𝐾)) ∈ Fin)
26	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
27		elfzelz 10119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 𝑥 ∈ ℤ)
29		0zd 9357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 0 ∈ ℤ)
30	28, 29	zsubcld 9472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 − 0) ∈ ℤ)
31		zdvdsdc 11996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 0) ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
33	32	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
34	25, 33	ssfirab 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
35		inrab 3436	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
36		rpexp 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
37	22, 36	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
38	37	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
39	38	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
41	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
42		gcdcom 12167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥))
43	40, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥))
44	43	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1))
45		coprm 12339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
46	45	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
47	39, 44, 46	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
48		zcn 9350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	49	subid1d 8345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
51	50	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
52	51	notbid 668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
53	47, 52	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
54	27, 53	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
55	54	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
56		imnan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
57	55, 56	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
58	57	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
59		rabeq0 3481	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
61	35, 60	eqtrid 2241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
62		hashun 10916	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
63	20, 34, 61, 62	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
64		unrab 3435	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
65	54	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1))
66		con1dc 857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → ((¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
67	32, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
68	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
69	28, 68	gcdcld 12162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℕ0)
70	69	nn0zd 9465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℤ)
71		1zzd 9372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 1 ∈ ℤ)
72		zdceq 9420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1)
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1)
74		dfordc 893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
76	67, 75	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
77	76	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
78		rabid2 2674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
79	77, 78	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
80	64, 79	eqtr4id 2248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃↑𝐾)))
81	80	fveq2d 5565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))))
82	4	nnnn0d 9321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0)
83		hashfz1 10894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
84	82, 83	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
85		expm1t 10678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
86	11, 85	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
87	81, 84, 86	3eqtrd 2233	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
88		hashcl 10892	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
89	20, 88	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
90	89	nn0cnd 9323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
91	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
92		nn0uz 9655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
93		1m1e0 9078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
94	93	fveq2i 5564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
95	92, 94	eqtr4i 2220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
96	82, 95	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
97		0zd 9357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
98	91, 21, 96, 97	hashdvds 12416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
99	4	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℂ)
100	99	subid1d 8345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝐾) − 0) = (𝑃↑𝐾))
101	100	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
102	91	nnap0d 9055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 # 0)
103		nnz 9364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
104	103	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
105	12, 102, 104	expm1apd 10794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
106	101, 105	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
107	106	fveq2d 5565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
108	9	nnzd 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
109		flid 10393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
111	107, 110	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
112	93	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
113		0m0e0 9121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
114	112, 113	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) − 0) = 0
115	114	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
116	12, 102	div0apd 8833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
117	115, 116	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
118	117	fveq2d 5565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
119		0z 9356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
120		flid 10393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
121	119, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘0) = 0
122	118, 121	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
123	111, 122	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
124	10	subid1d 8345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
125	98, 123, 124	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
126	125	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
127	90, 10, 126	comraddd 8202	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})))
128	63, 87, 127	3eqtr3rd 2238	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
129	10, 12	mulcld 8066	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
130	129, 10, 90	subaddd 8374	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
131	128, 130	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
132	16, 18, 131	3eqtrrd 2234	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
133	6, 132	eqtrd 2229	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156  ∅c0 3451   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  ℂcc 7896  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903   − cmin 8216   / cdiv 8718  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ...cfz 10102  ⌊cfl 10377  ↑cexp 10649  ♯chash 10886   ∥ cdvds 11971   gcd cgcd 12147  ℙcprime 12302  ϕcphi 12404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-prm 12303  df-phi 12406

This theorem is referenced by:  phiprm  12418