Theorem phiprmpw 12222

Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phiprmpw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12110	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 9183	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 10533	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		phival 12213	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
7		nnm1nn0 9217	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8		nnexpcl 10533	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
9	1, 7, 8	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 8933	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
11	1	nncnd 8933	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13		ax-1cn 7904	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		subdi 8342	. . . . 5 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
15	13, 14	mp3an3 1326	. . . 4 ⊢ (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
16	10, 12, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
17	10	mulridd 7974	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
18	17	oveq2d 5891	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19		phivalfi 12212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin)
20	4, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin)
21		1zzd 9280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
22		prmz 12111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
23		zexpcl 10535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
24	22, 2, 23	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
25	21, 24	fzfigd 10431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃↑𝐾)) ∈ Fin)
26	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
27		elfzelz 10025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
28	27	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 𝑥 ∈ ℤ)
29		0zd 9265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 0 ∈ ℤ)
30	28, 29	zsubcld 9380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 − 0) ∈ ℤ)
31		zdvdsdc 11819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 0) ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
32	26, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
33	32	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))
34	25, 33	ssfirab 6933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
35		inrab 3408	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
36		rpexp 12153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
37	22, 36	syl3an1 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
38	37	3expa 1203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
39	38	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
40		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
41	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
42		gcdcom 11974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥))
43	40, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥))
44	43	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃↑𝐾) gcd 𝑥) = 1))
45		coprm 12144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
46	45	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
47	39, 44, 46	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
48		zcn 9258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	49	subid1d 8257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
51	50	breq2d 4016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃 ∥ 𝑥))
52	51	notbid 667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑥))
53	47, 52	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
54	27, 53	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
55	54	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
56		imnan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
57	55, 56	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
58	57	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
59		rabeq0 3453	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
60	58, 59	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
61	35, 60	eqtrid 2222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
62		hashun 10785	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
63	20, 34, 61, 62	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
64		unrab 3407	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
65	54	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1))
66		con1dc 856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → ((¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
67	32, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
68	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℤ)
69	28, 68	gcdcld 11969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℕ0)
70	69	nn0zd 9373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℤ)
71		1zzd 9280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → 1 ∈ ℤ)
72		zdceq 9328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1)
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1)
74		dfordc 892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → (((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ (¬ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))))
76	67, 75	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
77	76	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
78		rabid2 2654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾))((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
79	77, 78	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃↑𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
80	64, 79	eqtr4id 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃↑𝐾)))
81	80	fveq2d 5520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))))
82	4	nnnn0d 9229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0)
83		hashfz1 10763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
84	82, 83	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘(1...(𝑃↑𝐾))) = (𝑃↑𝐾))
85		expm1t 10548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
86	11, 85	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
87	81, 84, 86	3eqtrd 2214	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
88		hashcl 10761	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
89	20, 88	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
90	89	nn0cnd 9231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
91	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
92		nn0uz 9562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
93		1m1e0 8988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 1) = 0
94	93	fveq2i 5519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
95	92, 94	eqtr4i 2201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
96	82, 95	eleqtrdi 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
97		0zd 9265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
98	91, 21, 96, 97	hashdvds 12221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
99	4	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℂ)
100	99	subid1d 8257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝐾) − 0) = (𝑃↑𝐾))
101	100	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
102	91	nnap0d 8965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 # 0)
103		nnz 9272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
104	103	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
105	12, 102, 104	expm1apd 10664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃↑𝐾) / 𝑃))
106	101, 105	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
107	106	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
108	9	nnzd 9374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
109		flid 10284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
110	108, 109	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
111	107, 110	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
112	93	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
113		0m0e0 9031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
114	112, 113	eqtri 2198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 − 1) − 0) = 0
115	114	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
116	12, 102	div0apd 8744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
117	115, 116	eqtrid 2222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
118	117	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
119		0z 9264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
120		flid 10284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
121	119, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘0) = 0
122	118, 121	eqtrdi 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
123	111, 122	oveq12d 5893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃↑𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
124	10	subid1d 8257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
125	98, 123, 124	3eqtrd 2214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
126	125	oveq2d 5891	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
127	90, 10, 126	comraddd 8114	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})))
128	63, 87, 127	3eqtr3rd 2219	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
129	10, 12	mulcld 7978	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
130	129, 10, 90	subaddd 8286	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
131	128, 130	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}))
132	16, 18, 131	3eqtrrd 2215	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃↑𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃↑𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
133	6, 132	eqtrd 2210	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃↑𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  {crab 2459   ∪ cun 3128   ∩ cin 3129  ∅c0 3423   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  ℂcc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816   − cmin 8128   / cdiv 8629  ℕcn 8919  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008  ⌊cfl 10268  ↑cexp 10519  ♯chash 10755   ∥ cdvds 11794   gcd cgcd 11943  ℙcprime 12107  ϕcphi 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-phi 12211

This theorem is referenced by:  phiprm  12223