ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioc0 GIF version

Theorem ioc0 9980
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ioc0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ioc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iocval 9641 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)})
21eqeq1d 2124 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
3 xrltletr 9530 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
433com23 1170 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
543expa 1164 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
65rexlimdva 2524 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7 qbtwnxr 9975 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
8 qre 9366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
98rexrd 7779 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*))
11 xrltle 9524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
12113ad2antr2 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵𝑥𝐵))
1312anim2d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
1410, 13anim12d 331 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))))
1514ex 114 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
169, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
1716adantr 272 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))))
1817pm2.43b 52 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))))
1918reximdv2 2506 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
207, 19mpd 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
21203expia 1166 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
226, 21impbid 128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2322notbid 639 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
24 rabeq0 3360 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
25 ralnex 2401 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
2624, 25bitri 183 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵))
2726a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
28 xrlenlt 7793 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2928ancoms 266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3023, 27, 293bitr4d 219 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
312, 30bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  wrex 2392  {crab 2395  c0 3331   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  *cxr 7763   < clt 7764  cle 7765  cq 9360  (,]cioc 9612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-ioc 9616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator