Theorem ioc0 10331

Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ioc0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ioc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iocval 9984	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)})
2	1	eqeq1d 2202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅))
3		xrltletr 9873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
4	3	3com23 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
5	4	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
6	5	rexlimdva 2611	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7		qbtwnxr 10326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
8		qre 9690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 8069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*))
11		xrltle 9864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
12	11	3ad2antr2 1165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝑥 < 𝐵 → 𝑥 ≤ 𝐵))
13	12	anim2d 337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
14	10, 13	anim12d 335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
15	14	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
16	9, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))))
18	17	pm2.43b 52	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))))
19	18	reximdv2 2593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
20	7, 19	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
21	20	3expia 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
22	6, 21	impbid 129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
23	22	notbid 668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
24		rabeq0 3476	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
25		ralnex 2482	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
26	24, 25	bitri 184	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
27	26	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
28		xrlenlt 8084	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
29	28	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
30	23, 27, 29	3bitr4d 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
31	2, 30	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  {crab 2476  ∅c0 3446   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℚcq 9684  (,]cioc 9955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ioc 9959

This theorem is referenced by: (None)