ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashgcdeq GIF version

Theorem hashgcdeq 12206
Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgcdeq ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem hashgcdeq
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2185 . 2 ((ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
2 eqeq2 2185 . 2 (0 = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
3 nndivdvds 11771 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
43biimpa 296 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
5 dfphi2 12187 . . . 4 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
64, 5syl 14 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
7 0z 9237 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
84nnzd 9347 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
9 fzofig 10402 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) → (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ Fin)
107, 8, 9sylancr 414 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ Fin)
11 elfzoelz 10117 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
1211adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
138adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
1412, 13gcdcld 11936 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 9346 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
16 1zzd 9253 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
17 zdceq 9301 . . . . . . 7 (((𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
1918ralrimiva 2548 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
2010, 19ssfirab 6923 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ∈ Fin)
21 eqid 2175 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
22 eqid 2175 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}
23 eqid 2175 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁))
2421, 22, 23hashgcdlem 12205 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
25243expa 1203 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
2620, 25fihasheqf1od 10737 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
276, 26eqtr2d 2209 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)))
28 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
29 elfzoelz 10117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
3029ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
31 nnz 9245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3231ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 gcddvds 11931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
3430, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
3534simprd 114 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
3628, 35eqbrtrrd 4022 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁𝑀)
3736expr 375 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁𝑁𝑀))
3837con3d 631 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁𝑀 → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
3938impancom 260 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
4039ralrimiv 2547 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
41 rabeq0 3450 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
4240, 41sylibr 134 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅)
4342fveq2d 5511 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (♯‘∅))
44 hash0 10744 . . 3 (♯‘∅) = 0
4543, 44eqtrdi 2224 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0)
46 dvdsdc 11773 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁𝑀)
4731, 46sylan2 286 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑁𝑀)
4847ancoms 268 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID 𝑁𝑀)
491, 2, 27, 45, 48ifbothdadc 3563 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453  {crab 2457  c0 3420  ifcif 3532   class class class wbr 3998  cmpt 4059  1-1-ontowf1o 5207  cfv 5208  (class class class)co 5865  Fincfn 6730  0cc0 7786  1c1 7787   · cmul 7791   / cdiv 8602  cn 8892  cz 9226  ..^cfzo 10112  chash 10723  cdvds 11762   gcd cgcd 11910  ϕcphi 12176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-phi 12178
This theorem is referenced by:  phisum  12207
  Copyright terms: Public domain W3C validator