ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashgcdeq GIF version

Theorem hashgcdeq 11086
Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgcdeq ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem hashgcdeq
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2094 . 2 ((ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
2 eqeq2 2094 . 2 (0 = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
3 nndivdvds 10684 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
43biimpa 290 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
5 dfphi2 11078 . . . 4 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
64, 5syl 14 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
7 0z 8694 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
84nnzd 8800 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
9 fzofig 9767 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) → (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ Fin)
107, 8, 9sylancr 405 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ Fin)
11 elfzoelz 9486 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
1211adantl 271 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
138adantr 270 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
1412, 13gcdcld 10842 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
1514nn0zd 8799 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
16 1zzd 8710 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
17 zdceq 8755 . . . . . . 7 (((𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
1815, 16, 17syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
1918ralrimiva 2442 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
2010, 19ssfirab 6593 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ∈ Fin)
21 eqid 2085 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
22 eqid 2085 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}
23 eqid 2085 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁))
2421, 22, 23hashgcdlem 11085 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
25243expa 1141 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
2620, 25fihasheqf1od 10095 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
276, 26eqtr2d 2118 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)))
28 simprr 499 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
29 elfzoelz 9486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
3029ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
31 nnz 8702 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3231ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 gcddvds 10837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
3430, 32, 33syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
3534simprd 112 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
3628, 35eqbrtrrd 3842 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁𝑀)
3736expr 367 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁𝑁𝑀))
3837con3d 594 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁𝑀 → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
3938impancom 256 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
4039ralrimiv 2441 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
41 rabeq0 3301 . . . . 5 ({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
4240, 41sylibr 132 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅)
4342fveq2d 5272 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (♯‘∅))
44 hash0 10102 . . 3 (♯‘∅) = 0
4543, 44syl6eq 2133 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0)
46 dvdsdc 10686 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁𝑀)
4731, 46sylan2 280 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑁𝑀)
4847ancoms 264 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID 𝑁𝑀)
491, 2, 27, 45, 48ifbothdadc 3408 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  {crab 2359  c0 3275  ifcif 3379   class class class wbr 3820  cmpt 3874  1-1-ontowf1o 4980  cfv 4981  (class class class)co 5613  Fincfn 6409  0cc0 7294  1c1 7295   · cmul 7299   / cdiv 8078  cn 8357  cz 8683  ..^cfzo 9481  chash 10080  cdvds 10678   gcd cgcd 10820  ϕcphi 11068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-1o 6135  df-er 6244  df-en 6410  df-dom 6411  df-fin 6412  df-sup 6623  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fzo 9482  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9854  df-ihash 10081  df-cj 10172  df-re 10173  df-im 10174  df-rsqrt 10327  df-abs 10328  df-dvds 10679  df-gcd 10821  df-phi 11069
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator