Theorem hashgcdeq 12533

Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgcdeq	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem hashgcdeq

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2214	. 2 ⊢ ((ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
2		eqeq2 2214	. 2 ⊢ (0 = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
3		nndivdvds 12078	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
4	3	biimpa 296	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
5		dfphi2 12513	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
7		0z 9382	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
8	4	nnzd 9493	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
9		fzofig 10575	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) → (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ Fin)
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ Fin)
11		elfzoelz 10268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) → 𝑦 ∈ ℤ)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
13	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
14	12, 13	gcdcld 12260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 9492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
16		1zzd 9398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
17		zdceq 9447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))) → DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
19	18	ralrimiva 2578	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → ∀𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁))DECID (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1)
20	10, 19	ssfirab 7032	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ∈ Fin)
21		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
22		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}
23		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁))
24	21, 22, 23	hashgcdlem 12531	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
25	24	3expa 1205	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
26	20, 25	fihasheqf1od 10932	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
27	6, 26	eqtr2d 2238	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)))
28		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
29		elfzoelz 10268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
30	29	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
31		nnz 9390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
32	31	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		gcddvds 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
34	30, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
35	34	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
36	28, 35	eqbrtrrd 4067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
37	36	expr 375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁 → 𝑁 ∥ 𝑀))
38	37	con3d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∥ 𝑀 → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
39	38	impancom 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
40	39	ralrimiv 2577	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
41		rabeq0 3489	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅)
43	42	fveq2d 5579	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (♯‘∅))
44		hash0 10939	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
45	43, 44	eqtrdi 2253	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0)
46		dvdsdc 12080	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ 𝑀)
47	31, 46	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → DECID 𝑁 ∥ 𝑀)
48	47	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID 𝑁 ∥ 𝑀)
49	1, 2, 27, 45, 48	ifbothdadc 3603	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  {crab 2487  ∅c0 3459  ifcif 3570   class class class wbr 4043   ↦ cmpt 4104  –1-1-onto→wf1o 5269  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Fincfn 6826  0cc0 7924  1c1 7925   · cmul 7929   / cdiv 8744  ℕcn 9035  ℤcz 9371  ..^cfzo 10263  ♯chash 10918   ∥ cdvds 12069   gcd cgcd 12245  ϕcphi 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-ihash 10919  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-dvds 12070  df-gcd 12246  df-phi 12504

This theorem is referenced by:  phisum  12534