Theorem unennn 12557

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ℕ)

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 12552	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
2	1	ensymi 6838	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3		entr 6840	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
5	4	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
6		evenennn 12553	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
7	6	ensymi 6838	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}
8		entr 6840	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
9	7, 8	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ℕ → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
10	9	3ad2ant2 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
11		simp3 1001	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
12		inrab 3432	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)}
13		pm3.24 694	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧)
14		ancom 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
15	13, 14	mtbi 671	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
16	15	rgenw 2549	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
17		rabeq0 3477	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
18	16, 17	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅
19	12, 18	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)
21		unen 6872	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1250	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
23		unrab 3431	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
24		rabid2 2671	. . . 4 ⊢ (ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
25		nnz 9339	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
26		2z 9348	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		zdvdsdc 11958	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝑧)
28	26, 27	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → DECID 2 ∥ 𝑧)
29		exmiddc 837	. . . . . 6 ⊢ (DECID 2 ∥ 𝑧 → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
31	30	orcomd 730	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
32	24, 31	mprgbir 2552	. . 3 ⊢ ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
33	23, 32	eqtr4i 2217	. 2 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ℕ
34	22, 33	breqtrdi 4071	1 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476   ∪ cun 3152   ∩ cin 3153  ∅c0 3447   class class class wbr 4030   ≈ cen 6794  ℕcn 8984  2c2 9035  ℤcz 9320   ∥ cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-er 6589  df-en 6797  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342  df-mod 10397  df-dvds 11934

This theorem is referenced by:  znnen  12558