ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unennn GIF version

Theorem unennn 11116
Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
unennn ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ ℕ)

Proof of Theorem unennn
StepHypRef Expression
1 oddennn 11111 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
21ensymi 6453 . . . . 5 ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3 entr 6455 . . . . 5 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
42, 3mpan2 416 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
543ad2ant1 962 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
6 evenennn 11112 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
76ensymi 6453 . . . . 5 ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}
8 entr 6455 . . . . 5 ((𝐵 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
97, 8mpan2 416 . . . 4 (𝐵 ≈ ℕ → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
1093ad2ant2 963 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
11 simp3 943 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
12 inrab 3260 . . . . 5 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)}
13 pm3.24 660 . . . . . . . 8 ¬ (2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧)
14 ancom 262 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
1513, 14mtbi 628 . . . . . . 7 ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
1615rgenw 2426 . . . . . 6 𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
17 rabeq0 3301 . . . . . 6 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
1816, 17mpbir 144 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅
1912, 18eqtri 2105 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅
2019a1i 9 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)
21 unen 6487 . . 3 (((𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) ∧ ((𝐴𝐵) = ∅ ∧ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)) → (𝐴𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
225, 10, 11, 20, 21syl22anc 1173 . 2 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
23 unrab 3259 . . 3 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
24 rabid2 2539 . . . 4 (ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
25 nnz 8705 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
26 2z 8714 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
27 zdvdsdc 10723 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝑧)
2826, 27mpan 415 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → DECID 2 ∥ 𝑧)
29 exmiddc 780 . . . . . 6 (DECID 2 ∥ 𝑧 → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
3025, 28, 293syl 17 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
3130orcomd 681 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
3224, 31mprgbir 2429 . . 3 ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
3323, 32eqtr4i 2108 . 2 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ℕ
3422, 33syl6breq 3861 1 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662  DECID wdc 778  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  {crab 2359  cun 2986  cin 2987  c0 3275   class class class wbr 3822  cen 6409  cn 8360  2c2 8410  cz 8686  cdvds 10702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-xor 1310  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-er 6246  df-en 6412  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-n0 8610  df-z 8687  df-q 9040  df-rp 9070  df-fl 9608  df-mod 9661  df-dvds 10703
This theorem is referenced by:  znnen  11117
  Copyright terms: Public domain W3C validator