ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unennn GIF version

Theorem unennn 11702
Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
unennn ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ ℕ)

Proof of Theorem unennn
StepHypRef Expression
1 oddennn 11697 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
21ensymi 6606 . . . . 5 ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3 entr 6608 . . . . 5 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
42, 3mpan2 419 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
543ad2ant1 970 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
6 evenennn 11698 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
76ensymi 6606 . . . . 5 ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}
8 entr 6608 . . . . 5 ((𝐵 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
97, 8mpan2 419 . . . 4 (𝐵 ≈ ℕ → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
1093ad2ant2 971 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
11 simp3 951 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
12 inrab 3295 . . . . 5 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)}
13 pm3.24 668 . . . . . . . 8 ¬ (2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧)
14 ancom 264 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
1513, 14mtbi 636 . . . . . . 7 ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
1615rgenw 2446 . . . . . 6 𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
17 rabeq0 3339 . . . . . 6 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
1816, 17mpbir 145 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅
1912, 18eqtri 2120 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅
2019a1i 9 . . 3 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)
21 unen 6640 . . 3 (((𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) ∧ ((𝐴𝐵) = ∅ ∧ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)) → (𝐴𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
225, 10, 11, 20, 21syl22anc 1185 . 2 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
23 unrab 3294 . . 3 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
24 rabid2 2565 . . . 4 (ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
25 nnz 8925 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
26 2z 8934 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
27 zdvdsdc 11309 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝑧)
2826, 27mpan 418 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → DECID 2 ∥ 𝑧)
29 exmiddc 788 . . . . . 6 (DECID 2 ∥ 𝑧 → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
3025, 28, 293syl 17 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
3130orcomd 689 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
3224, 31mprgbir 2449 . . 3 ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
3323, 32eqtr4i 2123 . 2 ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ℕ
3422, 33syl6breq 3914 1 ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) ≈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 670  DECID wdc 786  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  wral 2375  {crab 2379  cun 3019  cin 3020  c0 3310   class class class wbr 3875  cen 6562  cn 8578  2c2 8629  cz 8906  cdvds 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-xor 1322  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-er 6359  df-en 6565  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-q 9262  df-rp 9292  df-fl 9884  df-mod 9937  df-dvds 11289
This theorem is referenced by:  znnen  11703
  Copyright terms: Public domain W3C validator