Theorem unennn 13346

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ℕ)

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 13341	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
2	1	ensymi 7073	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3		entr 7075	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4	2, 3	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
5	4	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
6		evenennn 13342	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
7	6	ensymi 7073	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}
8		entr 7075	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
9	7, 8	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ℕ → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
10	9	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
11		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
12		inrab 3505	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)}
13		pm3.24 705	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧)
14		ancom 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
15	13, 14	mtbi 681	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
16	15	rgenw 2605	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
17		rabeq0 3552	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
18	16, 17	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅
19	12, 18	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)
21		unen 7109	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1279	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
23		unrab 3504	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
24		rabid2 2729	. . . 4 ⊢ (ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
25		nnz 9674	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
26		2z 9683	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		zdvdsdc 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝑧)
28	26, 27	mpan 428	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → DECID 2 ∥ 𝑧)
29		exmiddc 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID 2 ∥ 𝑧 → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
31	30	orcomd 741	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
32	24, 31	mprgbir 2608	. . 3 ⊢ ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
33	23, 32	eqtr4i 2262	. 2 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ℕ
34	22, 33	breqtrdi 4172	1 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520   class class class wbr 4131   ≈ cen 7024  ℕcn 9313  2c2 9364  ℤcz 9655   ∥ cdvds 12579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6811  df-en 7027  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-q 10036  df-rp 10072  df-fl 10722  df-mod 10781  df-dvds 12580

This theorem is used by:  znnen  13347