Theorem unennn 12963

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ℕ)

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 12958	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
2	1	ensymi 6932	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
3		entr 6934	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
5	4	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
6		evenennn 12959	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
7	6	ensymi 6932	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}
8		entr 6934	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ≈ ℕ ∧ ℕ ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
9	7, 8	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ ℕ → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
10	9	3ad2ant2 1043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
11		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
12		inrab 3476	. . . . 5 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)}
13		pm3.24 698	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧)
14		ancom 266	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑧 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧) ↔ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
15	13, 14	mtbi 674	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
16	15	rgenw 2585	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)
17		rabeq0 3521	. . . . . 6 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ¬ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧))
18	16, 17	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∧ 2 ∥ 𝑧)} = ∅
19	12, 18	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)
21		unen 6967	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝐵 ≈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) ∧ ((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∩ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ∅)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1272	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}))
23		unrab 3475	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
24		rabid2 2708	. . . 4 ⊢ (ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
25		nnz 9461	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
26		2z 9470	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
27		zdvdsdc 12318	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 2 ∥ 𝑧)
28	26, 27	mpan 424	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → DECID 2 ∥ 𝑧)
29		exmiddc 841	. . . . . 6 ⊢ (DECID 2 ∥ 𝑧 → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑧 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑧))
31	30	orcomd 734	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧))
32	24, 31	mprgbir 2588	. . 3 ⊢ ℕ = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (¬ 2 ∥ 𝑧 ∨ 2 ∥ 𝑧)}
33	23, 32	eqtr4i 2253	. 2 ⊢ ({𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∪ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧}) = ℕ
34	22, 33	breqtrdi 4123	1 ⊢ ((𝐴 ≈ ℕ ∧ 𝐵 ≈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491   class class class wbr 4082   ≈ cen 6883  ℕcn 9106  2c2 9157  ℤcz 9442   ∥ cdvds 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-er 6678  df-en 6886  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-n0 9366  df-z 9443  df-q 9811  df-rp 9846  df-fl 10485  df-mod 10540  df-dvds 12294

This theorem is referenced by:  znnen  12964