Theorem ioo0 9878

Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioo0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ioo0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eqeq1d 2108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = ∅))
3		xrlttr 9422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
4	3	3com23 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
5	4	3expa 1149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
6	5	rexlimdva 2508	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7		qbtwnxr 9876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
8		qre 9267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 7687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	anim1i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
11	10	reximi2 2487	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
12	7, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
13	12	3expia 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
14	6, 13	impbid 128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
15	14	notbid 633	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
16		rabeq0 3339	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
17		ralnex 2385	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
18	16, 17	bitri 183	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
20		xrlenlt 7701	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
21	20	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
22	15, 19, 21	3bitr4d 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
23	2, 22	bitrd 187	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  ∃wrex 2376  {crab 2379  ∅c0 3310   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  ℝ^*cxr 7671   < clt 7672   ≤ cle 7673  ℚcq 9261  (,)cioo 9512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-ioo 9516

This theorem is referenced by: (None)