ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioo0 GIF version

Theorem ioo0 10233
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioo0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ioo0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9882 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eqeq1d 2186 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅))
3 xrlttr 9769 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
433com23 1209 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
543expa 1203 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
65rexlimdva 2594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
7 qbtwnxr 10231 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
8 qre 9601 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
98rexrd 7984 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109anim1i 340 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
1110reximi2 2573 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
127, 11syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
13123expia 1205 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
146, 13impbid 129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
1514notbid 667 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
16 rabeq0 3452 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
17 ralnex 2465 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
1816, 17bitri 184 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
1918a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
20 xrlenlt 7999 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2120ancoms 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2215, 19, 213bitr4d 220 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
232, 22bitrd 188 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  c0 3422   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  *cxr 7968   < clt 7969  cle 7970  cq 9595  (,)cioo 9862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-ioo 9866
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator