Theorem recexre 8537

Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7959	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapval 8535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4		lt0neg1 8427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5		renegcl 8220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
7	1, 5, 6	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
8	4, 7	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
9	8	pm5.32i 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴))
10		ax-precex 7923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
11		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → (-𝐴 · 𝑦) = 1)
12	11	reximi 2574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
14	5, 13	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
15	9, 14	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
16		recn 7946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 8261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
18	17	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (-𝐴 · --𝑦) = (-𝐴 · 𝑦))
19	18	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((-𝐴 · --𝑦) = 1 ↔ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
20	19	pm5.32i 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
21		renegcl 8220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
22		negeq 8152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
23	22	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (-𝐴 · -𝑥) = (-𝐴 · --𝑦))
24	23	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (-𝐴 · --𝑦) = 1))
25	24	rspcev 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
26	21, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
27	20, 26	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
29	15, 28	rexlimddv 2599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
30		recn 7946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31		recn 7946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32		mul2neg 8357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
34	33	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
35	34	rexbidva 2474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
36	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
37	29, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
39		ltxrlt 8025	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
40	1, 39	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
41	40	pm5.32i 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
42		ax-precex 7923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
43		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
44	43	reximi 2574	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
45	42, 44	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
46	41, 45	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
47	46	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
48	38, 47	jaod 717	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
49	3, 48	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
50	49	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   <_ℝ cltrr 7817   · cmul 7818   < clt 7994  -cneg 8131   #_ℝ creap 8533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534

This theorem is referenced by:  rimul  8544  recexap  8612  rerecclap  8689