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Theorem recexre 7955
Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexre
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 7391 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 reapval 7953 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
31, 2mpan2 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4 lt0neg1 7849 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5 renegcl 7646 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6 ltxrlt 7455 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 ↔ 0 < -𝐴))
71, 5, 6sylancr 405 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ 0 < -𝐴))
84, 7bitrd 186 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
98pm5.32i 442 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
10 ax-precex 7358 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
11 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → (-𝐴 · 𝑦) = 1)
1211reximi 2464 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
145, 13sylan 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
159, 14sylbi 119 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
16 recn 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1716negnegd 7687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
1817oveq2d 5607 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (-𝐴 · --𝑦) = (-𝐴 · 𝑦))
1918eqeq1d 2091 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((-𝐴 · --𝑦) = 1 ↔ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
2019pm5.32i 442 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
21 renegcl 7646 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
22 negeq 7578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
2322oveq2d 5607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦 → (-𝐴 · -𝑥) = (-𝐴 · --𝑦))
2423eqeq1d 2091 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑦 → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (-𝐴 · --𝑦) = 1))
2524rspcev 2712 . . . . . . . . . 10 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2621, 25sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2720, 26sylbir 133 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2827adantl 271 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2915, 28rexlimddv 2487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
30 recn 7378 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31 recn 7378 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32 mul2neg 7779 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
3330, 31, 32syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
3433eqeq1d 2091 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
3534rexbidva 2371 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
3635adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
3729, 36mpbid 145 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3837ex 113 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
39 ltxrlt 7455 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
401, 39mpan 415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
4140pm5.32i 442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
42 ax-precex 7358 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
43 simpr 108 . . . . . . . 8 ((0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
4443reximi 2464 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4542, 44syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4641, 45sylbi 119 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4746ex 113 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
4838, 47jaod 670 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
493, 48sylbid 148 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
5049imp 122 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cc 7251  cr 7252  0cc0 7253  1c1 7254   < cltrr 7257   · cmul 7258   < clt 7425  -cneg 7557   # creap 7951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952
This theorem is referenced by:  rimul  7962  recexap  8020  rerecclap  8095
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