Theorem recexre 8748

Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8169	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapval 8746	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4		lt0neg1 8638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5		renegcl 8430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
7	1, 5, 6	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
8	4, 7	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
9	8	pm5.32i 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴))
10		ax-precex 8132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
11		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → (-𝐴 · 𝑦) = 1)
12	11	reximi 2627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
14	5, 13	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
15	9, 14	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
16		recn 8155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 8471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
18	17	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (-𝐴 · --𝑦) = (-𝐴 · 𝑦))
19	18	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((-𝐴 · --𝑦) = 1 ↔ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
20	19	pm5.32i 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
21		renegcl 8430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
22		negeq 8362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
23	22	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (-𝐴 · -𝑥) = (-𝐴 · --𝑦))
24	23	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (-𝐴 · --𝑦) = 1))
25	24	rspcev 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
26	21, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
27	20, 26	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
29	15, 28	rexlimddv 2653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
30		recn 8155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31		recn 8155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32		mul2neg 8567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
34	33	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
35	34	rexbidva 2527	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
36	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
37	29, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
39		ltxrlt 8235	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
40	1, 39	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
41	40	pm5.32i 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
42		ax-precex 8132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
43		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
44	43	reximi 2627	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
45	42, 44	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
46	41, 45	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
47	46	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
48	38, 47	jaod 722	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
49	3, 48	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
50	49	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   <_ℝ cltrr 8026   · cmul 8027   < clt 8204  -cneg 8341   #_ℝ creap 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745

This theorem is referenced by:  rimul  8755  recexap  8823  rerecclap  8900