ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexre GIF version

Theorem recexre 8031
Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexre
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 7467 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 reapval 8029 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
31, 2mpan2 416 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4 lt0neg1 7925 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5 renegcl 7722 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6 ltxrlt 7531 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 ↔ 0 < -𝐴))
71, 5, 6sylancr 405 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ 0 < -𝐴))
84, 7bitrd 186 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
98pm5.32i 442 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
10 ax-precex 7434 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
11 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → (-𝐴 · 𝑦) = 1)
1211reximi 2470 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ (0 < 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
145, 13sylan 277 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
159, 14sylbi 119 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
16 recn 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
1716negnegd 7763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
1817oveq2d 5650 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (-𝐴 · --𝑦) = (-𝐴 · 𝑦))
1918eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ((-𝐴 · --𝑦) = 1 ↔ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
2019pm5.32i 442 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
21 renegcl 7722 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
22 negeq 7654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
2322oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦 → (-𝐴 · -𝑥) = (-𝐴 · --𝑦))
2423eqeq1d 2096 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝑦 → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (-𝐴 · --𝑦) = 1))
2524rspcev 2722 . . . . . . . . . 10 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2621, 25sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2720, 26sylbir 133 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2827adantl 271 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
2915, 28rexlimddv 2493 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
30 recn 7454 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31 recn 7454 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32 mul2neg 7855 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
3330, 31, 32syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
3433eqeq1d 2096 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
3534rexbidva 2377 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
3635adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
3729, 36mpbid 145 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
3837ex 113 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
39 ltxrlt 7531 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
401, 39mpan 415 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝐴))
4140pm5.32i 442 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
42 ax-precex 7434 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
43 simpr 108 . . . . . . . 8 ((0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
4443reximi 2470 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4542, 44syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4641, 45sylbi 119 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4746ex 113 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
4838, 47jaod 672 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
493, 48sylbid 148 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 # 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
5049imp 122 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   < cltrr 7333   · cmul 7334   < clt 7501  -cneg 7633   # creap 8027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-ltxr 7506  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028
This theorem is referenced by:  rimul  8038  recexap  8096  rerecclap  8171
  Copyright terms: Public domain W3C validator