Theorem recexre 8906

Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8326	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapval 8904	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4		lt0neg1 8796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5		renegcl 8587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
7	1, 5, 6	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
8	4, 7	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
9	8	pm5.32i 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴))
10		ax-precex 8289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
11		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → (-𝐴 · 𝑦) = 1)
12	11	reximi 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
14	5, 13	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
15	9, 14	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
16		recn 8312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 8628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
18	17	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (-𝐴 · --𝑦) = (-𝐴 · 𝑦))
19	18	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((-𝐴 · --𝑦) = 1 ↔ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
20	19	pm5.32i 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
21		renegcl 8587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
22		negeq 8519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
23	22	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (-𝐴 · -𝑥) = (-𝐴 · --𝑦))
24	23	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (-𝐴 · --𝑦) = 1))
25	24	rspcev 2929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
26	21, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
27	20, 26	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
29	15, 28	rexlimddv 2673	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
30		recn 8312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31		recn 8312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32		mul2neg 8725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
34	33	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
35	34	rexbidva 2547	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
36	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
37	29, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
39		ltxrlt 8391	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
40	1, 39	mpan 428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
41	40	pm5.32i 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
42		ax-precex 8289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
43		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
44	43	reximi 2647	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
45	42, 44	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
46	41, 45	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
47	46	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
48	38, 47	jaod 729	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
49	3, 48	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
50	49	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   <_ℝ cltrr 8183   · cmul 8184   < clt 8360  -cneg 8498   #_ℝ creap 8902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903

This theorem is used by:  rimul  8913  recexap  8981  rerecclap  9060