Theorem recexre 8757

Description: Existence of reciprocal of real number. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem recexre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		reapval 8755	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4		lt0neg1 8647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
5		renegcl 8439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6		ltxrlt 8244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
7	1, 5, 6	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
8	4, 7	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 <ℝ -𝐴))
9	8	pm5.32i 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴))
10		ax-precex 8141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
11		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → (-𝐴 · 𝑦) = 1)
12	11	reximi 2629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑦 ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
14	5, 13	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ -𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
15	9, 14	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (-𝐴 · 𝑦) = 1)
16		recn 8164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 8480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
18	17	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (-𝐴 · --𝑦) = (-𝐴 · 𝑦))
19	18	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((-𝐴 · --𝑦) = 1 ↔ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
20	19	pm5.32i 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1))
21		renegcl 8439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
22		negeq 8371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
23	22	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (-𝐴 · -𝑥) = (-𝐴 · --𝑦))
24	23	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (-𝐴 · --𝑦) = 1))
25	24	rspcev 2910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
26	21, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · --𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
27	20, 26	sylbir 135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
29	15, 28	rexlimddv 2655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1)
30		recn 8164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31		recn 8164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32		mul2neg 8576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
33	30, 31, 32	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝑥) = (𝐴 · 𝑥))
34	33	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 1))
35	34	rexbidva 2529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
36	35	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (-𝐴 · -𝑥) = 1 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
37	29, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
39		ltxrlt 8244	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
40	1, 39	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 <ℝ 𝐴))
41	40	pm5.32i 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴))
42		ax-precex 8141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
43		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
44	43	reximi 2629	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
45	42, 44	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
46	41, 45	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
47	46	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
48	38, 47	jaod 724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
49	3, 48	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 #ℝ 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
50	49	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 #ℝ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   <_ℝ cltrr 8035   · cmul 8036   < clt 8213  -cneg 8350   #_ℝ creap 8753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754

This theorem is referenced by:  rimul  8764  recexap  8832  rerecclap  8909