ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrest2r GIF version
Theorem cnrest2r 13822
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)))
2 cntop2 13787 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
32adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
4 restrcl 13752 . . . . . . 7 ((𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top β†’ (𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
5 eqid 2177 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
65restin 13761 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
73, 4, 63syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
87oveq2d 5893 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) = (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
91, 8eleqtrd 2256 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
10 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Top)
115toptopon 13603 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
1210, 11sylib 122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
13 cntop1 13786 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1413adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
15 eqid 2177 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1615toptopon 13603 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
1714, 16sylib 122 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
18 inss2 3358 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾
19 resttopon 13756 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
2012, 18, 19sylancl 413 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
21 cnf2 13790 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2217, 20, 9, 21syl3anc 1238 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2322frnd 5377 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2418a1i 9 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾)
25 cnrest2 13821 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
2612, 23, 24, 25syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
279, 26mpbird 167 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2827ex 115 . 2 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2928ssrdv 3163 1 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∩ cin 3130   βŠ† wss 3131  βˆͺ cuni 3811  ran crn 4629  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   β†Ύt crest 12693  Topctop 13582  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-cn 13773
This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  14178
  Copyright terms: Public domain W3C validator