Theorem cnrest2r 15102

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))
2		cntop2 15067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
4		restrcl 15032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top → (𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
6	5	restin 15041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
8	7	oveq2d 6066	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
9	1, 8	eleqtrd 2311	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
10		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ Top)
11	5	toptopon 14883	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12	10, 11	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
13		cntop1 15066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
15		eqid 2232	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	toptopon 14883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
17	14, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
18		inss2 3442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾
19		resttopon 15036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
20	12, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
21		cnf2 15070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
22	17, 20, 9, 21	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
23	22	frnd 5518	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
24	18	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾)
25		cnrest2 15101	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
26	12, 23, 24, 25	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
27	9, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28	27	ex 115	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
29	28	ssrdv 3244	1 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∩ cin 3210   ⊆ wss 3211  ∪ cuni 3914  ran crn 4750  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ↾_t crest 13452  Topctop 14862  TopOnctopon 14875   Cn ccn 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cn 15053

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15475