Theorem cnrest2r 14951

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))
2		cntop2 14916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
4		restrcl 14881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top → (𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
6	5	restin 14890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
7	3, 4, 6	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
8	7	oveq2d 6029	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
9	1, 8	eleqtrd 2308	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
10		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ Top)
11	5	toptopon 14732	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12	10, 11	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
13		cntop1 14915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
15		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
16	15	toptopon 14732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
17	14, 16	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
18		inss2 3426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾
19		resttopon 14885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
20	12, 18, 19	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
21		cnf2 14919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
22	17, 20, 9, 21	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
23	22	frnd 5489	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
24	18	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾)
25		cnrest2 14950	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
26	12, 23, 24, 25	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
27	9, 26	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
28	27	ex 115	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
29	28	ssrdv 3231	1 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198  ∪ cuni 3891  ran crn 4724  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↾_t crest 13312  Topctop 14711  TopOnctopon 14724   Cn ccn 14899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-cn 14902

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15324