Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logrpap0b GIF version

Theorem logrpap0b 13168
 Description: The logarithm is apart from 0 if and only if its argument is apart from 1. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
logrpap0b (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))

Proof of Theorem logrpap0b
StepHypRef Expression
1 1rp 9557 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
2 logltb 13166 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
31, 2mpan2 422 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
4 log1 13158 . . . . 5 (log‘1) = 0
54breq2i 3973 . . . 4 ((log‘𝐴) < (log‘1) ↔ (log‘𝐴) < 0)
63, 5bitrdi 195 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < 0))
7 logltb 13166 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
81, 7mpan 421 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
94breq1i 3972 . . . 4 ((log‘1) < (log‘𝐴) ↔ 0 < (log‘𝐴))
108, 9bitrdi 195 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ 0 < (log‘𝐴)))
116, 10orbi12d 783 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴) ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
12 rpre 9560 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
13 1re 7871 . . 3 1 ∈ ℝ
14 reaplt 8457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
1512, 13, 14sylancl 410 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
16 relogcl 13154 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
17 0re 7872 . . 3 0 ∈ ℝ
18 reaplt 8457 . . 3 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
1916, 17, 18sylancl 410 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
2011, 15, 193bitr4d 219 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ‘cfv 5169  ℝcr 7725  0cc0 7726  1c1 7727   < clt 7906   # cap 8450  ℝ+crp 9553  logclog 13148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846  ax-pre-suploc 7847  ax-addf 7848  ax-mulf 7849 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-of 6029  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-map 6592  df-pm 6593  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-sup 6924  df-inf 6925  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-xneg 9672  df-xadd 9673  df-ioo 9789  df-ico 9791  df-icc 9792  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-fac 10593  df-bc 10615  df-ihash 10643  df-shft 10708  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244  df-ef 11538  df-e 11539  df-rest 12324  df-topgen 12343  df-psmet 12358  df-xmet 12359  df-met 12360  df-bl 12361  df-mopn 12362  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-ntr 12467  df-cn 12559  df-cnp 12560  df-tx 12624  df-cncf 12929  df-limced 12996  df-dvap 12997  df-relog 13150 This theorem is referenced by:  logrpap0  13169  logrpap0d  13170
 Copyright terms: Public domain W3C validator