Theorem logrpap0b 14774

Description: The logarithm is apart from 0 if and only if its argument is apart from 1. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
logrpap0b	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))

Proof of Theorem logrpap0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9689	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		logltb 14772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
4		log1 14764	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
5	4	breq2i 4026	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) < (log‘1) ↔ (log‘𝐴) < 0)
6	3, 5	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < 0))
7		logltb 14772	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
8	1, 7	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
9	4	breq1i 4025	. . . 4 ⊢ ((log‘1) < (log‘𝐴) ↔ 0 < (log‘𝐴))
10	8, 9	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ 0 < (log‘𝐴)))
11	6, 10	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴) ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
12		rpre 9692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		1re 7987	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		reaplt 8576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
15	12, 13, 14	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
16		relogcl 14760	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
17		0re 7988	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		reaplt 8576	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
19	16, 17, 18	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
20	11, 15, 19	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  ℝcr 7841  0cc0 7842  1c1 7843   < clt 8023   # cap 8569  ℝ⁺crp 9685  logclog 14754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962  ax-pre-suploc 7963  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-of 6107  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-er 6560  df-map 6677  df-pm 6678  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-ioo 9924  df-ico 9926  df-icc 9927  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-fac 10741  df-bc 10763  df-ihash 10791  df-shft 10859  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-sumdc 11397  df-ef 11691  df-e 11692  df-rest 12749  df-topgen 12768  df-psmet 13873  df-xmet 13874  df-met 13875  df-bl 13876  df-mopn 13877  df-top 13975  df-topon 13988  df-bases 14020  df-ntr 14073  df-cn 14165  df-cnp 14166  df-tx 14230  df-cncf 14535  df-limced 14602  df-dvap 14603  df-relog 14756

This theorem is referenced by:  logrpap0  14775  logrpap0d  14776