Theorem logrpap0b 15590

Description: The logarithm is apart from 0 if and only if its argument is apart from 1. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
logrpap0b	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))

Proof of Theorem logrpap0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 9882	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		logltb 15588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
4		log1 15580	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
5	4	breq2i 4094	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) < (log‘1) ↔ (log‘𝐴) < 0)
6	3, 5	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < 0))
7		logltb 15588	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
8	1, 7	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
9	4	breq1i 4093	. . . 4 ⊢ ((log‘1) < (log‘𝐴) ↔ 0 < (log‘𝐴))
10	8, 9	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ 0 < (log‘𝐴)))
11	6, 10	orbi12d 798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴) ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
12		rpre 9885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		1re 8168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		reaplt 8758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
15	12, 13, 14	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
16		relogcl 15576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
17		0re 8169	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		reaplt 8758	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
19	16, 17, 18	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
20	11, 15, 19	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   < clt 8204   # cap 8751  ℝ⁺crp 9878  logclog 15570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142  ax-pre-suploc 8143  ax-addf 8144  ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-pm 6815  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-ioo 10117  df-ico 10119  df-icc 10120  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-bc 11000  df-ihash 11028  df-shft 11366  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199  df-e 12200  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-cn 14902  df-cnp 14903  df-tx 14967  df-cncf 15285  df-limced 15370  df-dvap 15371  df-relog 15572

This theorem is referenced by:  logrpap0  15591  logrpap0d  15592