Theorem logrpap0b 16070

Description: The logarithm is apart from 0 if and only if its argument is apart from 1. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
logrpap0b	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))

Proof of Theorem logrpap0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 10069	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		logltb 16068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
3	1, 2	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < (log‘1)))
4		log1 16059	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
5	4	breq2i 4138	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) < (log‘1) ↔ (log‘𝐴) < 0)
6	3, 5	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 < 1 ↔ (log‘𝐴) < 0))
7		logltb 16068	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
8	1, 7	mpan 428	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ (log‘1) < (log‘𝐴)))
9	4	breq1i 4137	. . . 4 ⊢ ((log‘1) < (log‘𝐴) ↔ 0 < (log‘𝐴))
10	8, 9	bitrdi 196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 < 𝐴 ↔ 0 < (log‘𝐴)))
11	6, 10	orbi12d 805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴) ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
12		rpre 10072	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
13		1re 8326	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		reaplt 8919	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
15	12, 13, 14	sylancl 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (𝐴 < 1 ∨ 1 < 𝐴)))
16		relogcl 16055	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
17		0re 8327	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		reaplt 8919	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
19	16, 17, 18	sylancl 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) # 0 ↔ ((log‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (log‘𝐴))))
20	11, 15, 19	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 # 1 ↔ (log‘𝐴) # 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181   < clt 8361   # cap 8912  ℝ⁺crp 10065  logclog 16049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300  ax-pre-suploc 8301  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-ioo 10305  df-ico 10307  df-icc 10308  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-fac 11180  df-bc 11202  df-ihash 11231  df-shft 11596  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-ef 12434  df-e 12435  df-rest 13648  df-topgen 13667  df-psmet 14964  df-xmet 14965  df-met 14966  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-top 15190  df-topon 15203  df-bases 15235  df-ntr 15288  df-cn 15380  df-cnp 15381  df-tx 15445  df-cncf 15763  df-limced 15848  df-dvap 15849  df-relog 16051

This theorem is used by:  logrpap0  16071  logrpap0d  16072