Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdenre GIF version

Theorem qdenre 10925
 Description: The rational numbers are dense in ℝ: any real number can be approximated with arbitrary precision by a rational number. For order theoretic density, see qbtwnre 9985. (Contributed by BJ, 15-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qdenre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qdenre
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 rpre 9399 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
32adantl 273 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 3resubcld 8107 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
51, 3readdcld 7759 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6 ltsubrp 9429 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) < 𝐴)
7 ltaddrp 9430 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
84, 1, 5, 6, 7lttrd 7852 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵))
94, 5, 83jca 1144 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵)))
10 qbtwnre 9985 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))
11 qre 9369 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1211adantl 273 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 simpll 501 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
142ad2antlr 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 absdiflt 10815 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1615biimprd 157 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
1712, 13, 14, 16syl3anc 1199 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
1817reximdva 2509 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
1910, 18syl5 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
209, 19mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 945   ∈ wcel 1463  ∃wrex 2392   class class class wbr 3897  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740  ℝcr 7583   + caddc 7587   < clt 7764   − cmin 7897  ℚcq 9363  ℝ+crp 9393  abscabs 10720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722 This theorem is referenced by:  qdencn  13056
 Copyright terms: Public domain W3C validator