Theorem qdenre 11455

Description: The rational numbers are dense in ℝ: any real number can be approximated with arbitrary precision by a rational number. For order theoretic density, see qbtwnre 10397. (Contributed by BJ, 15-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qdenre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qdenre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 9781	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 8452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 3	readdcld 8101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltsubrp 9811	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
7		ltaddrp 9812	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
8	4, 1, 5, 6, 7	lttrd 8197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵))
9	4, 5, 8	3jca 1179	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)))
10		qbtwnre 10397	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))
11		qre 9745	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	2	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		absdiflt 11345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
16	15	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
18	17	reximdva 2607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
19	10, 18	syl5 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
20	9, 19	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2175  ∃wrex 2484   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℝcr 7923   + caddc 7927   < clt 8106   − cmin 8242  ℚcq 9739  ℝ⁺crp 9774  abscabs 11250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252

This theorem is referenced by:  qdencn  15899