ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdenre GIF version

Theorem qdenre 10635
Description: The rational numbers are dense in : any real number can be approximated with arbitrary precision by a rational number. For order theoretic density, see qbtwnre 9668. (Contributed by BJ, 15-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qdenre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qdenre
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 rpre 9140 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
32adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
41, 3resubcld 7859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
51, 3readdcld 7517 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6 ltsubrp 9168 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) < 𝐴)
7 ltaddrp 9169 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
84, 1, 5, 6, 7lttrd 7609 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵))
94, 5, 83jca 1123 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵)))
10 qbtwnre 9668 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))
11 qre 9110 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1211adantl 271 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 simpll 496 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
142ad2antlr 473 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 absdiflt 10525 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
1615biimprd 156 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
1712, 13, 14, 16syl3anc 1174 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
1817reximdva 2475 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴𝐵) < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
1910, 18syl5 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵))
209, 19mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥𝐴)) < 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 924  wcel 1438  wrex 2360   class class class wbr 3845  cfv 5015  (class class class)co 5652  cr 7349   + caddc 7353   < clt 7522  cmin 7653  cq 9104  +crp 9134  abscabs 10430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432
This theorem is referenced by:  qdencn  11915
  Copyright terms: Public domain W3C validator