Theorem qdenre 11243

Description: The rational numbers are dense in ℝ: any real number can be approximated with arbitrary precision by a rational number. For order theoretic density, see qbtwnre 10287. (Contributed by BJ, 15-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qdenre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qdenre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 9690	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 8368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 3	readdcld 8017	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltsubrp 9720	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
7		ltaddrp 9721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
8	4, 1, 5, 6, 7	lttrd 8113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵))
9	4, 5, 8	3jca 1179	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)))
10		qbtwnre 10287	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))
11		qre 9655	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	2	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		absdiflt 11133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
16	15	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
18	17	reximdva 2592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
19	10, 18	syl5 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
20	9, 19	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2160  ∃wrex 2469   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℝcr 7840   + caddc 7844   < clt 8022   − cmin 8158  ℚcq 9649  ℝ⁺crp 9683  abscabs 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040

This theorem is referenced by:  qdencn  15234