Theorem qdenre 11753

Description: The rational numbers are dense in ℝ: any real number can be approximated with arbitrary precision by a rational number. For order theoretic density, see qbtwnre 10506. (Contributed by BJ, 15-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
qdenre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qdenre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 9885	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	resubcld 8550	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 3	readdcld 8199	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		ltsubrp 9915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < 𝐴)
7		ltaddrp 9916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
8	4, 1, 5, 6, 7	lttrd 8295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵))
9	4, 5, 8	3jca 1201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)))
10		qbtwnre 10506	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))
11		qre 9849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	2	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		absdiflt 11643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
16	15	biimprd 158	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
18	17	reximdva 2632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
19	10, 18	syl5 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (𝐴 + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
20	9, 19	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℚ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8021   + caddc 8025   < clt 8204   − cmin 8340  ℚcq 9843  ℝ⁺crp 9878  abscabs 11548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  qdencn  16567